Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1822 / 1514
↖ ↑ ↗
← N 74.283563°
W 99.931641°		 ← 1 323.64 m → N 74.283563°
W 99.887696°		 →
↑
1 324.08 m
↓
↑
1 324.08 m
↓
N 74.271656°
W 99.931641°		 ← 1 324.61 m →
1 753 255 m²		 N 74.271656°
W 99.887696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22247314453125 y=0.18487548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22247314453125 × 213)
    floor (0.22247314453125 × 8192)
    floor (1822.5)     		tx = 1822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18487548828125 × 213)
    floor (0.18487548828125 × 8192)
    floor (1514.5)     		ty = 1514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1822 / 1514 ti = "13/1822/1514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1822/1514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1822 ÷ 213
    1822 ÷ 8192     		x = 0.222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1514 ÷ 213
    1514 ÷ 8192     		y = 0.184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.55517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74413616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.184814453125 × 2 - 1) × π
    0.63037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.98036919710376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74413616} λ = -1.74413616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98036919710376))-π/2
    2×atan(7.24541747857164)-π/2
    2×1.43364454472578-π/2
    2.86728908945156-1.57079632675     		φ = 1.29649276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74413616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29649276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.283563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1822 KachelY 1514 -1.74413616 1.29649276 -99.931641 74.283563
    Oben rechts KachelX + 1 1823 KachelY 1514 -1.74336917 1.29649276 -99.887696 74.283563
    Unten links KachelX 1822 KachelY + 1 1515 -1.74413616 1.29628493 -99.931641 74.271656
    Unten rechts KachelX + 1 1823 KachelY + 1 1515 -1.74336917 1.29628493 -99.887696 74.271656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29649276-1.29628493) × R
    0.000207830000000131 × 6371000     		dl = 1324.08493000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29649276-1.29628493) × R
    0.000207830000000131 × 6371000     		dr = 1324.08493000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74413616--1.74336917) × cos(1.29649276) × R
    0.000766990000000023 × 0.270876606292501 × 6371000     		do = 1323.63671906632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74413616--1.74336917) × cos(1.29628493) × R
    0.000766990000000023 × 0.271076660524971 × 6371000     		du = 1324.61428273092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29649276)-sin(1.29628493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.270876606292501-0.271076660524971)×R²
    abs(-1.74336917--1.74413616)×0.000200054232470104×R²
    0.000766990000000023×0.000200054232470104×6371000²
    0.000766990000000023×0.000200054232470104×40589641000000     		ar = 1753254.62747973m²