Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18218 / 51271
↖ ↑ ↗
← S 70.741666°
W 79.925537°		 ← 201.45 m → S 70.741666°
W 79.920044°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 70.743478°
W 79.925537°		 ← 201.44 m →
40 581 m²		 S 70.743478°
W 79.920044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277992248535156 y=0.782341003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277992248535156 × 216)
    floor (0.277992248535156 × 65536)
    floor (18218.5)     		tx = 18218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782341003417969 × 216)
    floor (0.782341003417969 × 65536)
    floor (51271.5)     		ty = 51271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18218 / 51271 ti = "16/18218/51271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18218/51271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18218 ÷ 216
    18218 ÷ 65536     		x = 0.277984619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51271 ÷ 216
    51271 ÷ 65536     		y = 0.782333374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.44403076171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39496378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782333374023438 × 2 - 1) × π
    -0.564666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7739529073398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39496378} λ = -1.39496378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7739529073398))-π/2
    2×atan(0.169661007318989)-π/2
    2×0.16806066773475-π/2
    0.336121335469501-1.57079632675     		φ = -1.23467499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39496378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.925537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23467499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.741666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18218 KachelY 51271 -1.39496378 -1.23467499 -79.925537 -70.741666
    Oben rechts KachelX + 1 18219 KachelY 51271 -1.39486791 -1.23467499 -79.920044 -70.741666
    Unten links KachelX 18218 KachelY + 1 51272 -1.39496378 -1.23470661 -79.925537 -70.743478
    Unten rechts KachelX + 1 18219 KachelY + 1 51272 -1.39486791 -1.23470661 -79.920044 -70.743478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23467499--1.23470661) × R
    3.1619999999899e-05 × 6371000     		dl = 201.451019999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23467499--1.23470661) × R
    3.1619999999899e-05 × 6371000     		dr = 201.451019999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39496378--1.39486791) × cos(-1.23467499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329827964985111 × 6371000     		do = 201.45488721689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39496378--1.39486791) × cos(-1.23470661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329798114242072 × 6371000     		du = 201.436654748116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23467499)-sin(-1.23470661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329827964985111-0.329798114242072)×R²
    abs(-1.39486791--1.39496378)×2.98507430388506e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98507430388506e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98507430388506e-05×40589641000000     		ar = 40581.4560421303m²