Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18217 / 52478
↖ ↑ ↗
← S 72.812828°
W 79.931030°		 ← 180.48 m → S 72.812828°
W 79.925537°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
S 72.814451°
W 79.931030°		 ← 180.47 m →
32 574 m²		 S 72.814451°
W 79.925537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277976989746094 y=0.800758361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277976989746094 × 216)
    floor (0.277976989746094 × 65536)
    floor (18217.5)     		tx = 18217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800758361816406 × 216)
    floor (0.800758361816406 × 65536)
    floor (52478.5)     		ty = 52478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18217 / 52478 ti = "16/18217/52478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18217/52478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18217 ÷ 216
    18217 ÷ 65536     		x = 0.277969360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52478 ÷ 216
    52478 ÷ 65536     		y = 0.800750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277969360351562 × 2 - 1) × π
    -0.444061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39505965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.60150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88967258302261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39505965} λ = -1.39505965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88967258302261))-π/2
    2×atan(0.151121280409863)-π/2
    2×0.149986373575662-π/2
    0.299972747151324-1.57079632675     		φ = -1.27082358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39505965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.931030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27082358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.812828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18217 KachelY 52478 -1.39505965 -1.27082358 -79.931030 -72.812828
    Oben rechts KachelX + 1 18218 KachelY 52478 -1.39496378 -1.27082358 -79.925537 -72.812828
    Unten links KachelX 18217 KachelY + 1 52479 -1.39505965 -1.27085191 -79.931030 -72.814451
    Unten rechts KachelX + 1 18218 KachelY + 1 52479 -1.39496378 -1.27085191 -79.925537 -72.814451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27082358--1.27085191) × R
    2.83299999999098e-05 × 6371000     		dl = 180.490429999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27082358--1.27085191) × R
    2.83299999999098e-05 × 6371000     		dr = 180.490429999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39505965--1.39496378) × cos(-1.27082358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295494170570315 × 6371000     		do = 180.484225490638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39505965--1.39496378) × cos(-1.27085191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295467105540845 × 6371000     		du = 180.467694501644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27082358)-sin(-1.27085191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295494170570315-0.295467105540845)×R²
    abs(-1.39496378--1.39505965)×2.70650294695307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70650294695307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70650294695307e-05×40589641000000     		ar = 32574.1836264741m²