Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18217 / 14074
↖ ↑ ↗
← N 71.084743°
W 79.931030°		 ← 198 m → N 71.084743°
W 79.925537°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
N 71.082963°
W 79.931030°		 ← 198.02 m →
39 208 m²		 N 71.082963°
W 79.925537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277976989746094 y=0.214759826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277976989746094 × 216)
    floor (0.277976989746094 × 65536)
    floor (18217.5)     		tx = 18217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214759826660156 × 216)
    floor (0.214759826660156 × 65536)
    floor (14074.5)     		ty = 14074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18217 / 14074 ti = "16/18217/14074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18217/14074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18217 ÷ 216
    18217 ÷ 65536     		x = 0.277969360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14074 ÷ 216
    14074 ÷ 65536     		y = 0.214752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277969360351562 × 2 - 1) × π
    -0.444061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39505965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214752197265625 × 2 - 1) × π
    0.57049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79226480299466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39505965} λ = -1.39505965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79226480299466))-π/2
    2×atan(6.00303276881533)-π/2
    2×1.40572957581338-π/2
    2.81145915162675-1.57079632675     		φ = 1.24066282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39505965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.931030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24066282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.084743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18217 KachelY 14074 -1.39505965 1.24066282 -79.931030 71.084743
    Oben rechts KachelX + 1 18218 KachelY 14074 -1.39496378 1.24066282 -79.925537 71.084743
    Unten links KachelX 18217 KachelY + 1 14075 -1.39505965 1.24063174 -79.931030 71.082963
    Unten rechts KachelX + 1 18218 KachelY + 1 14075 -1.39496378 1.24063174 -79.925537 71.082963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24066282-1.24063174) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dl = 198.01068000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24066282-1.24063174) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dr = 198.01068000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39505965--1.39496378) × cos(1.24066282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324169328587732 × 6371000     		do = 197.998661310494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39505965--1.39496378) × cos(1.24063174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324198730082353 × 6371000     		du = 198.016619383828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24066282)-sin(1.24063174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324169328587732-0.324198730082353)×R²
    abs(-1.39496378--1.39505965)×2.94014946205512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94014946205512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94014946205512e-05×40589641000000     		ar = 39207.6275133672m²