Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18216 / 14073
↖ ↑ ↗
← N 71.086524°
W 79.936524°		 ← 198 m → N 71.086524°
W 79.931030°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
N 71.084743°
W 79.936524°		 ← 198.02 m →
39 208 m²		 N 71.084743°
W 79.931030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277961730957031 y=0.214744567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277961730957031 × 216)
    floor (0.277961730957031 × 65536)
    floor (18216.5)     		tx = 18216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214744567871094 × 216)
    floor (0.214744567871094 × 65536)
    floor (14073.5)     		ty = 14073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18216 / 14073 ti = "16/18216/14073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18216/14073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18216 ÷ 216
    18216 ÷ 65536     		x = 0.2779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14073 ÷ 216
    14073 ÷ 65536     		y = 0.214736938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39515553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214736938476562 × 2 - 1) × π
    0.570526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7923606767939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39515553} λ = -1.39515553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7923606767939))-π/2
    2×atan(6.00360832996402)-π/2
    2×1.40574511478104-π/2
    2.81149022956209-1.57079632675     		φ = 1.24069390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39515553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.936524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24069390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.086524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18216 KachelY 14073 -1.39515553 1.24069390 -79.936524 71.086524
    Oben rechts KachelX + 1 18217 KachelY 14073 -1.39505965 1.24069390 -79.931030 71.086524
    Unten links KachelX 18216 KachelY + 1 14074 -1.39515553 1.24066282 -79.936524 71.084743
    Unten rechts KachelX + 1 18217 KachelY + 1 14074 -1.39505965 1.24066282 -79.931030 71.084743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24069390-1.24066282) × R
    3.10799999998501e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24069390-1.24066282) × R
    3.10799999998501e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39515553--1.39505965) × cos(1.24069390) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324139926779975 × 6371000     		do = 198.00135400051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39515553--1.39505965) × cos(1.24066282) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324169328587732 × 6371000     		du = 198.019314138293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24069390)-sin(1.24066282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324139926779975-0.324169328587732)×R²
    abs(-1.39505965--1.39515553)×2.94018077570124e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94018077570124e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94018077570124e-05×40589641000000     		ar = 39208.1608993878m²