Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18215 / 51305
↖ ↑ ↗
← S 70.803172°
W 79.942017°		 ← 200.84 m → S 70.803172°
W 79.936524°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
S 70.804978°
W 79.942017°		 ← 200.82 m →
40 329 m²		 S 70.804978°
W 79.936524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277946472167969 y=0.782859802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277946472167969 × 216)
    floor (0.277946472167969 × 65536)
    floor (18215.5)     		tx = 18215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782859802246094 × 216)
    floor (0.782859802246094 × 65536)
    floor (51305.5)     		ty = 51305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18215 / 51305 ti = "16/18215/51305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18215/51305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18215 ÷ 216
    18215 ÷ 65536     		x = 0.277938842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51305 ÷ 216
    51305 ÷ 65536     		y = 0.782852172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277938842773438 × 2 - 1) × π
    -0.444122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39525140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782852172851562 × 2 - 1) × π
    -0.565704345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77721261651396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39525140} λ = -1.39525140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77721261651396))-π/2
    2×atan(0.169108862182128)-π/2
    2×0.167523922504866-π/2
    0.335047845009733-1.57079632675     		φ = -1.23574848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39525140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.942017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23574848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.803172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18215 KachelY 51305 -1.39525140 -1.23574848 -79.942017 -70.803172
    Oben rechts KachelX + 1 18216 KachelY 51305 -1.39515553 -1.23574848 -79.936524 -70.803172
    Unten links KachelX 18215 KachelY + 1 51306 -1.39525140 -1.23578000 -79.942017 -70.804978
    Unten rechts KachelX + 1 18216 KachelY + 1 51306 -1.39515553 -1.23578000 -79.936524 -70.804978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23574848--1.23578000) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23574848--1.23578000) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39525140--1.39515553) × cos(-1.23574848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328814356503941 × 6371000     		do = 200.835787553023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39525140--1.39515553) × cos(-1.23578000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328784589023507 × 6371000     		du = 200.81760594003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23574848)-sin(-1.23578000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328814356503941-0.328784589023507)×R²
    abs(-1.39515553--1.39525140)×2.97674804339843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97674804339843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97674804339843e-05×40589641000000     		ar = 40328.7962175721m²