Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18213 / 52483
↖ ↑ ↗
← S 72.820942°
W 79.953003°		 ← 180.42 m → S 72.820942°
W 79.947510°		 →
↑
180.36 m
↓
↑
180.36 m
↓
S 72.822564°
W 79.953003°		 ← 180.40 m →
32 540 m²		 S 72.822564°
W 79.947510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277915954589844 y=0.800834655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277915954589844 × 216)
    floor (0.277915954589844 × 65536)
    floor (18213.5)     		tx = 18213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800834655761719 × 216)
    floor (0.800834655761719 × 65536)
    floor (52483.5)     		ty = 52483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18213 / 52483 ti = "16/18213/52483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18213/52483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18213 ÷ 216
    18213 ÷ 65536     		x = 0.277908325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52483 ÷ 216
    52483 ÷ 65536     		y = 0.800827026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277908325195312 × 2 - 1) × π
    -0.444183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39544315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800827026367188 × 2 - 1) × π
    -0.601654052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89015195201881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39544315} λ = -1.39544315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89015195201881))-π/2
    2×atan(0.151048854914024)-π/2
    2×0.149915564419061-π/2
    0.299831128838123-1.57079632675     		φ = -1.27096520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39544315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.953003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27096520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.820942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18213 KachelY 52483 -1.39544315 -1.27096520 -79.953003 -72.820942
    Oben rechts KachelX + 1 18214 KachelY 52483 -1.39534727 -1.27096520 -79.947510 -72.820942
    Unten links KachelX 18213 KachelY + 1 52484 -1.39544315 -1.27099351 -79.953003 -72.822564
    Unten rechts KachelX + 1 18214 KachelY + 1 52484 -1.39534727 -1.27099351 -79.947510 -72.822564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27096520--1.27099351) × R
    2.83100000000314e-05 × 6371000     		dl = 180.3630100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27096520--1.27099351) × R
    2.83100000000314e-05 × 6371000     		dr = 180.3630100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39544315--1.39534727) × cos(-1.27096520) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.295358871713389 × 6371000     		do = 180.420403917136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39544315--1.39534727) × cos(-1.27099351) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29533182460659 × 6371000     		du = 180.403882151917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27096520)-sin(-1.27099351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295358871713389-0.29533182460659)×R²
    abs(-1.39534727--1.39544315)×2.7047106799627e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.7047106799627e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.7047106799627e-05×40589641000000     		ar = 32539.6771606729m²