Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18212 / 52484
↖ ↑ ↗
← S 72.822564°
W 79.958496°		 ← 180.39 m → S 72.822564°
W 79.953003°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
S 72.824187°
W 79.958496°		 ← 180.37 m →
32 545 m²		 S 72.824187°
W 79.953003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277900695800781 y=0.800849914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277900695800781 × 216)
    floor (0.277900695800781 × 65536)
    floor (18212.5)     		tx = 18212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800849914550781 × 216)
    floor (0.800849914550781 × 65536)
    floor (52484.5)     		ty = 52484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18212 / 52484 ti = "16/18212/52484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18212/52484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18212 ÷ 216
    18212 ÷ 65536     		x = 0.27789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52484 ÷ 216
    52484 ÷ 65536     		y = 0.80084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.4442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39553902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80084228515625 × 2 - 1) × π
    -0.6016845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89024782581805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39553902} λ = -1.39553902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89024782581805))-π/2
    2×atan(0.151034373980615)-π/2
    2×0.149901406478803-π/2
    0.299802812957607-1.57079632675     		φ = -1.27099351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39553902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.958496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27099351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.822564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18212 KachelY 52484 -1.39553902 -1.27099351 -79.958496 -72.822564
    Oben rechts KachelX + 1 18213 KachelY 52484 -1.39544315 -1.27099351 -79.953003 -72.822564
    Unten links KachelX 18212 KachelY + 1 52485 -1.39553902 -1.27102183 -79.958496 -72.824187
    Unten rechts KachelX + 1 18213 KachelY + 1 52485 -1.39544315 -1.27102183 -79.953003 -72.824187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27099351--1.27102183) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dl = 180.426719999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27099351--1.27102183) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dr = 180.426719999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39553902--1.39544315) × cos(-1.27099351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29533182460659 × 6371000     		do = 180.385066561486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39553902--1.39544315) × cos(-1.27102183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295304767709064 × 6371000     		du = 180.368540539383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27099351)-sin(-1.27102183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29533182460659-0.295304767709064)×R²
    abs(-1.39544315--1.39553902)×2.70568975261343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70568975261343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70568975261343e-05×40589641000000     		ar = 32544.7950305656m²