Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18211 / 51303
↖ ↑ ↗
← S 70.799560°
W 79.963990°		 ← 200.89 m → S 70.799560°
W 79.958496°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 70.801366°
W 79.963990°		 ← 200.87 m →
40 353 m²		 S 70.801366°
W 79.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277885437011719 y=0.782829284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277885437011719 × 216)
    floor (0.277885437011719 × 65536)
    floor (18211.5)     		tx = 18211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782829284667969 × 216)
    floor (0.782829284667969 × 65536)
    floor (51303.5)     		ty = 51303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18211 / 51303 ti = "16/18211/51303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18211/51303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18211 ÷ 216
    18211 ÷ 65536     		x = 0.277877807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51303 ÷ 216
    51303 ÷ 65536     		y = 0.782821655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277877807617188 × 2 - 1) × π
    -0.444244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39563490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782821655273438 × 2 - 1) × π
    -0.565643310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77702086891548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39563490} λ = -1.39563490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77702086891548))-π/2
    2×atan(0.169141291509356)-π/2
    2×0.167555450040789-π/2
    0.335110900081577-1.57079632675     		φ = -1.23568543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39563490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.963990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23568543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.799560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18211 KachelY 51303 -1.39563490 -1.23568543 -79.963990 -70.799560
    Oben rechts KachelX + 1 18212 KachelY 51303 -1.39553902 -1.23568543 -79.958496 -70.799560
    Unten links KachelX 18211 KachelY + 1 51304 -1.39563490 -1.23571696 -79.963990 -70.801366
    Unten rechts KachelX + 1 18212 KachelY + 1 51304 -1.39553902 -1.23571696 -79.958496 -70.801366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23568543--1.23571696) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23568543--1.23571696) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39563490--1.39553902) × cos(-1.23568543) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328873899928476 × 6371000     		do = 200.89310850455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39563490--1.39553902) × cos(-1.23571696) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328844123657694 × 6371000     		du = 200.874919625474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23568543)-sin(-1.23571696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328873899928476-0.328844123657694)×R²
    abs(-1.39553902--1.39563490)×2.97762707818228e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97762707818228e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97762707818228e-05×40589641000000     		ar = 40353.1046535454m²