Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18210 / 24074
↖ ↑ ↗
← S 64.215937°
E 20.061035°		 ← 531.39 m → S 64.215937°
E 20.072021°		 →
↑
531.28 m
↓
↑
531.28 m
↓
S 64.220715°
E 20.061035°		 ← 531.30 m →
282 291 m²		 S 64.220715°
E 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555740356445312 y=0.734695434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555740356445312 × 215)
    floor (0.555740356445312 × 32768)
    floor (18210.5)     		tx = 18210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734695434570312 × 215)
    floor (0.734695434570312 × 32768)
    floor (24074.5)     		ty = 24074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18210 / 24074 ti = "15/18210/24074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18210/24074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18210 ÷ 215
    18210 ÷ 32768     		x = 0.55572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24074 ÷ 215
    24074 ÷ 32768     		y = 0.73468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55572509765625 × 2 - 1) × π
    0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.4693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47453903231293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35013111} λ = 0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47453903231293))-π/2
    2×atan(0.228884210956349)-π/2
    2×0.225008400671369-π/2
    0.450016801342738-1.57079632675     		φ = -1.12077953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12077953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.215937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18210 KachelY 24074 0.35013111 -1.12077953 20.061035 -64.215937
    Oben rechts KachelX + 1 18211 KachelY 24074 0.35032286 -1.12077953 20.072021 -64.215937
    Unten links KachelX 18210 KachelY + 1 24075 0.35013111 -1.12086292 20.061035 -64.220715
    Unten rechts KachelX + 1 18211 KachelY + 1 24075 0.35032286 -1.12086292 20.072021 -64.220715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12077953--1.12086292) × R
    8.33899999999055e-05 × 6371000     		dl = 531.277689999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12077953--1.12086292) × R
    8.33899999999055e-05 × 6371000     		dr = 531.277689999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35013111-0.35032286) × cos(-1.12077953) × R
    0.000191749999999991 × 0.434980658675164 × 6371000     		do = 531.389445628407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35013111-0.35032286) × cos(-1.12086292) × R
    0.000191749999999991 × 0.434905569488242 × 6371000     		du = 531.297713730412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12077953)-sin(-1.12086292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434980658675164-0.434905569488242)×R²
    abs(0.35032286-0.35013111)×7.50891869222281e-05×R²
    0.000191749999999991×7.50891869222281e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.50891869222281e-05×40589641000000     		ar = 282290.989771528m²