Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1821 / 2697
↖ ↑ ↗
← S 49.439557°
W 19.951172°		 ← 6 354.88 m → S 49.439557°
W 19.863281°		 →
↑
6 351.19 m
↓
↑
6 351.19 m
↓
S 49.496675°
W 19.951172°		 ← 6 347.48 m →
40 337 535 m²		 S 49.496675°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4447021484375 y=0.6585693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4447021484375 × 212)
    floor (0.4447021484375 × 4096)
    floor (1821.5)     		tx = 1821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6585693359375 × 212)
    floor (0.6585693359375 × 4096)
    floor (2697.5)     		ty = 2697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1821 / 2697 ti = "12/1821/2697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1821/2697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1821 ÷ 212
    1821 ÷ 4096     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2697 ÷ 212
    2697 ÷ 4096     		y = 0.658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.31689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.995553531309326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995553531309326))-π/2
    2×atan(0.369518847672323)-π/2
    2×0.353956638576303-π/2
    0.707913277152607-1.57079632675     		φ = -0.86288305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86288305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.439557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1821 KachelY 2697 -0.34821364 -0.86288305 -19.951172 -49.439557
    Oben rechts KachelX + 1 1822 KachelY 2697 -0.34667966 -0.86288305 -19.863281 -49.439557
    Unten links KachelX 1821 KachelY + 1 2698 -0.34821364 -0.86387994 -19.951172 -49.496675
    Unten rechts KachelX + 1 1822 KachelY + 1 2698 -0.34667966 -0.86387994 -19.863281 -49.496675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86288305--0.86387994) × R
    0.000996890000000028 × 6371000     		dl = 6351.18619000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86288305--0.86387994) × R
    0.000996890000000028 × 6371000     		dr = 6351.18619000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34667966) × cos(-0.86288305) × R
    0.00153397999999999 × 0.650249861669064 × 6371000     		do = 6354.88317173858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34667966) × cos(-0.86387994) × R
    0.00153397999999999 × 0.649492180998693 × 6371000     		du = 6347.47836871512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86288305)-sin(-0.86387994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650249861669064-0.649492180998693)×R²
    abs(-0.34667966--0.34821364)×0.00075768067037052×R²
    0.00153397999999999×0.00075768067037052×6371000²
    0.00153397999999999×0.00075768067037052×40589641000000     		ar = 40337534.9386459m²