Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1821 / 2676
↖ ↑ ↗
← S 48.224673°
W 19.951172°		 ← 6 510.87 m → S 48.224673°
W 19.863281°		 →
↑
6 507.15 m
↓
↑
6 507.15 m
↓
S 48.283193°
W 19.951172°		 ← 6 503.43 m →
42 343 002 m²		 S 48.283193°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4447021484375 y=0.6534423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4447021484375 × 212)
    floor (0.4447021484375 × 4096)
    floor (1821.5)     		tx = 1821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6534423828125 × 212)
    floor (0.6534423828125 × 4096)
    floor (2676.5)     		ty = 2676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1821 / 2676 ti = "12/1821/2676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1821/2676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1821 ÷ 212
    1821 ÷ 4096     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2676 ÷ 212
    2676 ÷ 4096     		y = 0.6533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6533203125 × 2 - 1) × π
    -0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963339934764648))-π/2
    2×atan(0.381616181954998)-π/2
    2×0.364558504190935-π/2
    0.72911700838187-1.57079632675     		φ = -0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1821 KachelY 2676 -0.34821364 -0.84167932 -19.951172 -48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 1822 KachelY 2676 -0.34667966 -0.84167932 -19.863281 -48.224673
    Unten links KachelX 1821 KachelY + 1 2677 -0.34821364 -0.84270069 -19.951172 -48.283193
    Unten rechts KachelX + 1 1822 KachelY + 1 2677 -0.34667966 -0.84270069 -19.863281 -48.283193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84167932--0.84270069) × R
    0.00102137000000002 × 6371000     		dl = 6507.14827000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84167932--0.84270069) × R
    0.00102137000000002 × 6371000     		dr = 6507.14827000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34667966) × cos(-0.84167932) × R
    0.00153397999999999 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 6510.87498548307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34667966) × cos(-0.84270069) × R
    0.00153397999999999 × 0.665449343914145 × 6371000     		du = 6503.42750774271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84167932)-sin(-0.84270069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.665449343914145)×R²
    abs(-0.34667966--0.34821364)×0.000762047269726174×R²
    0.00153397999999999×0.000762047269726174×6371000²
    0.00153397999999999×0.000762047269726174×40589641000000     		ar = 42343001.658033m²