Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1821 / 1130
↖ ↑ ↗
← N 62.512318°
W 19.951172°		 ← 4 510.80 m → N 62.512318°
W 19.863281°		 →
↑
4 513.85 m
↓
↑
4 513.85 m
↓
N 62.471724°
W 19.951172°		 ← 4 516.94 m →
20 374 948 m²		 N 62.471724°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4447021484375 y=0.2760009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4447021484375 × 212)
    floor (0.4447021484375 × 4096)
    floor (1821.5)     		tx = 1821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2760009765625 × 212)
    floor (0.2760009765625 × 4096)
    floor (1130.5)     		ty = 1130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1821 / 1130 ti = "12/1821/1130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1821/1130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1821 ÷ 212
    1821 ÷ 4096     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1130 ÷ 212
    1130 ÷ 4096     		y = 0.27587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27587890625 × 2 - 1) × π
    0.4482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40819436323877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40819436323877))-π/2
    2×atan(4.08856626947534)-π/2
    2×1.33092104892734-π/2
    2.66184209785468-1.57079632675     		φ = 1.09104577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09104577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.512318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1821 KachelY 1130 -0.34821364 1.09104577 -19.951172 62.512318
    Oben rechts KachelX + 1 1822 KachelY 1130 -0.34667966 1.09104577 -19.863281 62.512318
    Unten links KachelX 1821 KachelY + 1 1131 -0.34821364 1.09033727 -19.951172 62.471724
    Unten rechts KachelX + 1 1822 KachelY + 1 1131 -0.34667966 1.09033727 -19.863281 62.471724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09104577-1.09033727) × R
    0.000708500000000001 × 6371000     		dl = 4513.8535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09104577-1.09033727) × R
    0.000708500000000001 × 6371000     		dr = 4513.8535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34667966) × cos(1.09104577) × R
    0.00153397999999999 × 0.461557906320937 × 6371000     		do = 4510.79922436739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34667966) × cos(1.09033727) × R
    0.00153397999999999 × 0.462186307917435 × 6371000     		du = 4516.94058473681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09104577)-sin(1.09033727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461557906320937-0.462186307917435)×R²
    abs(-0.34667966--0.34821364)×0.000628401596498018×R²
    0.00153397999999999×0.000628401596498018×6371000²
    0.00153397999999999×0.000628401596498018×40589641000000     		ar = 20374948.3195072m²