Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18209 / 34575
↖ ↑ ↗
← S  9.876864°
W 79.974975°		 ← 601.74 m → S  9.876864°
W 79.969482°		 →
↑
601.74 m
↓
↑
601.74 m
↓
S  9.882275°
W 79.974975°		 ← 601.73 m →
362 086 m²		 S  9.882275°
W 79.969482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277854919433594 y=0.527580261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277854919433594 × 216)
    floor (0.277854919433594 × 65536)
    floor (18209.5)     		tx = 18209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527580261230469 × 216)
    floor (0.527580261230469 × 65536)
    floor (34575.5)     		ty = 34575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18209 / 34575 ti = "16/18209/34575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18209/34575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18209 ÷ 216
    18209 ÷ 65536     		x = 0.277847290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34575 ÷ 216
    34575 ÷ 65536     		y = 0.527572631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277847290039062 × 2 - 1) × π
    -0.444305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39582664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527572631835938 × 2 - 1) × π
    -0.055145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.173243955226883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39582664} λ = -1.39582664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173243955226883))-π/2
    2×atan(0.840932439954715)-π/2
    2×0.699206266947819-π/2
    1.39841253389564-1.57079632675     		φ = -0.17238379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39582664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.974975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17238379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.876864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18209 KachelY 34575 -1.39582664 -0.17238379 -79.974975 -9.876864
    Oben rechts KachelX + 1 18210 KachelY 34575 -1.39573077 -0.17238379 -79.969482 -9.876864
    Unten links KachelX 18209 KachelY + 1 34576 -1.39582664 -0.17247824 -79.974975 -9.882275
    Unten rechts KachelX + 1 18210 KachelY + 1 34576 -1.39573077 -0.17247824 -79.969482 -9.882275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17238379--0.17247824) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dl = 601.740949999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17238379--0.17247824) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dr = 601.740949999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39582664--1.39573077) × cos(-0.17238379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985178671830528 × 6371000     		do = 601.735084018917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39582664--1.39573077) × cos(-0.17247824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985162466305611 × 6371000     		du = 601.725185882491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17238379)-sin(-0.17247824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985178671830528-0.985162466305611)×R²
    abs(-1.39573077--1.39582664)×1.62055249172122e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62055249172122e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62055249172122e-05×40589641000000     		ar = 362085.663318026m²