Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18208 / 51296
↖ ↑ ↗
← S 70.786910°
W 79.980469°		 ← 201.02 m → S 70.786910°
W 79.974975°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
S 70.788717°
W 79.980469°		 ← 201 m →
40 404 m²		 S 70.788717°
W 79.974975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277839660644531 y=0.782722473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277839660644531 × 216)
    floor (0.277839660644531 × 65536)
    floor (18208.5)     		tx = 18208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782722473144531 × 216)
    floor (0.782722473144531 × 65536)
    floor (51296.5)     		ty = 51296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18208 / 51296 ti = "16/18208/51296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18208/51296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18208 ÷ 216
    18208 ÷ 65536     		x = 0.27783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51296 ÷ 216
    51296 ÷ 65536     		y = 0.78271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39592252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78271484375 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39592252} λ = -1.39592252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7763497523208))-π/2
    2×atan(0.169254843135863)-π/2
    2×0.167665841385325-π/2
    0.33533168277065-1.57079632675     		φ = -1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39592252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18208 KachelY 51296 -1.39592252 -1.23546464 -79.980469 -70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 18209 KachelY 51296 -1.39582664 -1.23546464 -79.974975 -70.786910
    Unten links KachelX 18208 KachelY + 1 51297 -1.39592252 -1.23549619 -79.980469 -70.788717
    Unten rechts KachelX + 1 18209 KachelY + 1 51297 -1.39582664 -1.23549619 -79.974975 -70.788717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23546464--1.23549619) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dl = 201.005050000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23546464--1.23549619) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dr = 201.005050000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39592252--1.39582664) × cos(-1.23546464) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 201.020471211709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39592252--1.39582664) × cos(-1.23549619) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.32905260734494 × 6371000     		du = 201.002272194849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23546464)-sin(-1.23549619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.32905260734494)×R²
    abs(-1.39582664--1.39592252)×2.97928669330538e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.97928669330538e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.97928669330538e-05×40589641000000     		ar = 40404.300823373m²