Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18208 / 24032
↖ ↑ ↗
← S 64.014496°
E 20.039063°		 ← 535.25 m → S 64.014496°
E 20.050049°		 →
↑
535.16 m
↓
↑
535.16 m
↓
S 64.019309°
E 20.039063°		 ← 535.16 m →
286 424 m²		 S 64.019309°
E 20.050049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555679321289062 y=0.733413696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555679321289062 × 215)
    floor (0.555679321289062 × 32768)
    floor (18208.5)     		tx = 18208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733413696289062 × 215)
    floor (0.733413696289062 × 32768)
    floor (24032.5)     		ty = 24032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18208 / 24032 ti = "15/18208/24032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18208/24032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18208 ÷ 215
    18208 ÷ 32768     		x = 0.5556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24032 ÷ 215
    24032 ÷ 32768     		y = 0.7333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5556640625 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7333984375 × 2 - 1) × π
    -0.466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46648563317676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34974762} λ = 0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46648563317676))-π/2
    2×atan(0.230734949227341)-π/2
    2×0.22676629960392-π/2
    0.45353259920784-1.57079632675     		φ = -1.11726373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11726373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.014496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18208 KachelY 24032 0.34974762 -1.11726373 20.039063 -64.014496
    Oben rechts KachelX + 1 18209 KachelY 24032 0.34993937 -1.11726373 20.050049 -64.014496
    Unten links KachelX 18208 KachelY + 1 24033 0.34974762 -1.11734773 20.039063 -64.019309
    Unten rechts KachelX + 1 18209 KachelY + 1 24033 0.34993937 -1.11734773 20.050049 -64.019309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11726373--1.11734773) × R
    8.4000000000195e-05 × 6371000     		dl = 535.164000001243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11726373--1.11734773) × R
    8.4000000000195e-05 × 6371000     		dr = 535.164000001243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34974762-0.34993937) × cos(-1.11726373) × R
    0.000191750000000046 × 0.438143730026227 × 6371000     		do = 535.253577741571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34974762-0.34993937) × cos(-1.11734773) × R
    0.000191750000000046 × 0.438068220466487 × 6371000     		du = 535.161332299643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11726373)-sin(-1.11734773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438143730026227-0.438068220466487)×R²
    abs(0.34993937-0.34974762)×7.55095597398392e-05×R²
    0.000191750000000046×7.55095597398392e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.55095597398392e-05×40589641000000     		ar = 286423.762628122m²