Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18205 / 52588
↖ ↑ ↗
← S 72.990482°
W 79.996948°		 ← 178.69 m → S 72.990482°
W 79.991455°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
S 72.992090°
W 79.996948°		 ← 178.68 m →
31 932 m²		 S 72.992090°
W 79.991455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277793884277344 y=0.802436828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277793884277344 × 216)
    floor (0.277793884277344 × 65536)
    floor (18205.5)     		tx = 18205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802436828613281 × 216)
    floor (0.802436828613281 × 65536)
    floor (52588.5)     		ty = 52588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18205 / 52588 ti = "16/18205/52588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18205/52588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18205 ÷ 216
    18205 ÷ 65536     		x = 0.277786254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52588 ÷ 216
    52588 ÷ 65536     		y = 0.80242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277786254882812 × 2 - 1) × π
    -0.444427490234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39621014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80242919921875 × 2 - 1) × π
    -0.6048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90021870093903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39621014} λ = -1.39621014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90021870093903))-π/2
    2×atan(0.149535912001843)-π/2
    2×0.148436040945262-π/2
    0.296872081890524-1.57079632675     		φ = -1.27392424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39621014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.996948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27392424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.990482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18205 KachelY 52588 -1.39621014 -1.27392424 -79.996948 -72.990482
    Oben rechts KachelX + 1 18206 KachelY 52588 -1.39611426 -1.27392424 -79.991455 -72.990482
    Unten links KachelX 18205 KachelY + 1 52589 -1.39621014 -1.27395229 -79.996948 -72.992090
    Unten rechts KachelX + 1 18206 KachelY + 1 52589 -1.39611426 -1.27395229 -79.991455 -72.992090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27392424--1.27395229) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27392424--1.27395229) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39621014--1.39611426) × cos(-1.27392424) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292530556254198 × 6371000     		do = 178.692723232983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39621014--1.39611426) × cos(-1.27395229) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292503733153389 × 6371000     		du = 178.676338302156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27392424)-sin(-1.27395229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292530556254198-0.292503733153389)×R²
    abs(-1.39611426--1.39621014)×2.68231008082043e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68231008082043e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68231008082043e-05×40589641000000     		ar = 31932.0960339635m²