Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18202 / 52586
↖ ↑ ↗
← S 72.987269°
W 80.013428°		 ← 178.71 m → S 72.987269°
W 80.007935°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
S 72.988876°
W 80.013428°		 ← 178.69 m →
31 935 m²		 S 72.988876°
W 80.007935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277748107910156 y=0.802406311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277748107910156 × 216)
    floor (0.277748107910156 × 65536)
    floor (18202.5)     		tx = 18202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802406311035156 × 216)
    floor (0.802406311035156 × 65536)
    floor (52586.5)     		ty = 52586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18202 / 52586 ti = "16/18202/52586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18202/52586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18202 ÷ 216
    18202 ÷ 65536     		x = 0.277740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52586 ÷ 216
    52586 ÷ 65536     		y = 0.802398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.44451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39649776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.60479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90002695334055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39649776} λ = -1.39649776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90002695334055))-π/2
    2×atan(0.149564587903035)-π/2
    2×0.148464089532033-π/2
    0.296928179064066-1.57079632675     		φ = -1.27386815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39649776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.013428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27386815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.987269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18202 KachelY 52586 -1.39649776 -1.27386815 -80.013428 -72.987269
    Oben rechts KachelX + 1 18203 KachelY 52586 -1.39640189 -1.27386815 -80.007935 -72.987269
    Unten links KachelX 18202 KachelY + 1 52587 -1.39649776 -1.27389620 -80.013428 -72.988876
    Unten rechts KachelX + 1 18203 KachelY + 1 52587 -1.39640189 -1.27389620 -80.007935 -72.988876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27386815--1.27389620) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27386815--1.27389620) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39649776--1.39640189) × cos(-1.27386815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292584192202904 × 6371000     		do = 178.706846292859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39649776--1.39640189) × cos(-1.27389620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292557369562362 × 6371000     		du = 178.690463352057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27386815)-sin(-1.27389620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292584192202904-0.292557369562362)×R²
    abs(-1.39640189--1.39649776)×2.68226405416017e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68226405416017e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68226405416017e-05×40589641000000     		ar = 31934.6200948298m²