Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18202 / 52498
↖ ↑ ↗
← S 72.845262°
W 80.013428°		 ← 180.15 m → S 72.845262°
W 80.007935°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
S 72.846882°
W 80.013428°		 ← 180.14 m →
32 457 m²		 S 72.846882°
W 80.007935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277748107910156 y=0.801063537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277748107910156 × 216)
    floor (0.277748107910156 × 65536)
    floor (18202.5)     		tx = 18202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801063537597656 × 216)
    floor (0.801063537597656 × 65536)
    floor (52498.5)     		ty = 52498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18202 / 52498 ti = "16/18202/52498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18202/52498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18202 ÷ 216
    18202 ÷ 65536     		x = 0.277740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52498 ÷ 216
    52498 ÷ 65536     		y = 0.801055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.44451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39649776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801055908203125 × 2 - 1) × π
    -0.60211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89159005900742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39649776} λ = -1.39649776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89159005900742))-π/2
    2×atan(0.150831786621277)-π/2
    2×0.149703331427175-π/2
    0.29940666285435-1.57079632675     		φ = -1.27138966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39649776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.013428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27138966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.845262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18202 KachelY 52498 -1.39649776 -1.27138966 -80.013428 -72.845262
    Oben rechts KachelX + 1 18203 KachelY 52498 -1.39640189 -1.27138966 -80.007935 -72.845262
    Unten links KachelX 18202 KachelY + 1 52499 -1.39649776 -1.27141794 -80.013428 -72.846882
    Unten rechts KachelX + 1 18203 KachelY + 1 52499 -1.39640189 -1.27141794 -80.007935 -72.846882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27138966--1.27141794) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27138966--1.27141794) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39649776--1.39640189) × cos(-1.27138966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294953321815453 × 6371000     		do = 180.153881685749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39649776--1.39640189) × cos(-1.27141794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294926299827684 × 6371000     		du = 180.137376986099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27138966)-sin(-1.27141794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294953321815453-0.294926299827684)×R²
    abs(-1.39640189--1.39649776)×2.70219877691047e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70219877691047e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70219877691047e-05×40589641000000     		ar = 32457.1767135277m²