Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18201 / 23897
↖ ↑ ↗
← S 63.357056°
E 19.962158°		 ← 547.79 m → S 63.357056°
E 19.973144°		 →
↑
547.71 m
↓
↑
547.71 m
↓
S 63.361982°
E 19.962158°		 ← 547.70 m →
300 007 m²		 S 63.361982°
E 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555465698242188 y=0.729293823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555465698242188 × 215)
    floor (0.555465698242188 × 32768)
    floor (18201.5)     		tx = 18201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729293823242188 × 215)
    floor (0.729293823242188 × 32768)
    floor (23897.5)     		ty = 23897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18201 / 23897 ti = "15/18201/23897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18201/23897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18201 ÷ 215
    18201 ÷ 32768     		x = 0.555450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23897 ÷ 215
    23897 ÷ 32768     		y = 0.729278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555450439453125 × 2 - 1) × π
    0.11090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34840539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.45855712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44059970738193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34840539} λ = 0.34840539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44059970738193))-π/2
    2×atan(0.23678571395315)-π/2
    2×0.232503545030237-π/2
    0.465007090060474-1.57079632675     		φ = -1.10578924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34840539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.962158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10578924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.357056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18201 KachelY 23897 0.34840539 -1.10578924 19.962158 -63.357056
    Oben rechts KachelX + 1 18202 KachelY 23897 0.34859713 -1.10578924 19.973144 -63.357056
    Unten links KachelX 18201 KachelY + 1 23898 0.34840539 -1.10587521 19.962158 -63.361982
    Unten rechts KachelX + 1 18202 KachelY + 1 23898 0.34859713 -1.10587521 19.973144 -63.361982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10578924--1.10587521) × R
    8.59699999999908e-05 × 6371000     		dl = 547.714869999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10578924--1.10587521) × R
    8.59699999999908e-05 × 6371000     		dr = 547.714869999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34840539-0.34859713) × cos(-1.10578924) × R
    0.000191739999999996 × 0.448429135764484 × 6371000     		do = 547.79006367322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34840539-0.34859713) × cos(-1.10587521) × R
    0.000191739999999996 × 0.448352292540653 × 6371000     		du = 547.696193870574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10578924)-sin(-1.10587521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448429135764484-0.448352292540653)×R²
    abs(0.34859713-0.34840539)×7.68432238304473e-05×R²
    0.000191739999999996×7.68432238304473e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.68432238304473e-05×40589641000000     		ar = 300007.056752977m²