Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18200 / 52663
↖ ↑ ↗
← S 73.110588°
W 80.024414°		 ← 177.47 m → S 73.110588°
W 80.018921°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
S 73.112184°
W 80.024414°		 ← 177.45 m →
31 487 m²		 S 73.112184°
W 80.018921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277717590332031 y=0.803581237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277717590332031 × 216)
    floor (0.277717590332031 × 65536)
    floor (18200.5)     		tx = 18200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803581237792969 × 216)
    floor (0.803581237792969 × 65536)
    floor (52663.5)     		ty = 52663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18200 / 52663 ti = "16/18200/52663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18200/52663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18200 ÷ 216
    18200 ÷ 65536     		x = 0.2777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52663 ÷ 216
    52663 ÷ 65536     		y = 0.803573608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39668951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.607147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90740923588203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39668951} λ = -1.39668951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90740923588203))-π/2
    2×atan(0.148464525339202)-π/2
    2×0.147387923693574-π/2
    0.294775847387148-1.57079632675     		φ = -1.27602048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39668951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.024414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27602048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.110588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18200 KachelY 52663 -1.39668951 -1.27602048 -80.024414 -73.110588
    Oben rechts KachelX + 1 18201 KachelY 52663 -1.39659363 -1.27602048 -80.018921 -73.110588
    Unten links KachelX 18200 KachelY + 1 52664 -1.39668951 -1.27604833 -80.024414 -73.112184
    Unten rechts KachelX + 1 18201 KachelY + 1 52664 -1.39659363 -1.27604833 -80.018921 -73.112184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27602048--1.27604833) × R
    2.78500000001625e-05 × 6371000     		dl = 177.432350001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27602048--1.27604833) × R
    2.78500000001625e-05 × 6371000     		dr = 177.432350001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39668951--1.39659363) × cos(-1.27602048) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.290525372554525 × 6371000     		do = 177.467853802778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39668951--1.39659363) × cos(-1.27604833) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.290498723687874 × 6371000     		du = 177.451575303143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27602048)-sin(-1.27604833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290525372554525-0.290498723687874)×R²
    abs(-1.39659363--1.39668951)×2.66488666519349e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.66488666519349e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.66488666519349e-05×40589641000000     		ar = 31487.0941857269m²