Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18200 / 52500
↖ ↑ ↗
← S 72.848502°
W 80.024414°		 ← 180.14 m → S 72.848502°
W 80.018921°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
S 72.850122°
W 80.024414°		 ← 180.12 m →
32 443 m²		 S 72.850122°
W 80.018921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277717590332031 y=0.801094055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277717590332031 × 216)
    floor (0.277717590332031 × 65536)
    floor (18200.5)     		tx = 18200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801094055175781 × 216)
    floor (0.801094055175781 × 65536)
    floor (52500.5)     		ty = 52500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18200 / 52500 ti = "16/18200/52500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18200/52500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18200 ÷ 216
    18200 ÷ 65536     		x = 0.2777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52500 ÷ 216
    52500 ÷ 65536     		y = 0.80108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39668951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.6021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8917818066059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39668951} λ = -1.39668951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8917818066059))-π/2
    2×atan(0.150802867761067)-π/2
    2×0.149675055722365-π/2
    0.29935011144473-1.57079632675     		φ = -1.27144622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39668951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.024414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27144622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.848502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18200 KachelY 52500 -1.39668951 -1.27144622 -80.024414 -72.848502
    Oben rechts KachelX + 1 18201 KachelY 52500 -1.39659363 -1.27144622 -80.018921 -72.848502
    Unten links KachelX 18200 KachelY + 1 52501 -1.39668951 -1.27147449 -80.024414 -72.850122
    Unten rechts KachelX + 1 18201 KachelY + 1 52501 -1.39659363 -1.27147449 -80.018921 -72.850122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27144622--1.27147449) × R
    2.82699999998304e-05 × 6371000     		dl = 180.108169998919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27144622--1.27147449) × R
    2.82699999998304e-05 × 6371000     		dr = 180.108169998919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39668951--1.39659363) × cos(-1.27144622) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.294899277604045 × 6371000     		do = 180.139660175661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39668951--1.39659363) × cos(-1.27147449) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.294872264699925 × 6371000     		du = 180.1231593032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27144622)-sin(-1.27147449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294899277604045-0.294872264699925)×R²
    abs(-1.39659363--1.39668951)×2.70129041200495e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.70129041200495e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.70129041200495e-05×40589641000000     		ar = 32443.1385699313m²