Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18200 / 14105
↖ ↑ ↗
← N 80.286349°
W130.012207°		 ← 51.53 m → N 80.286349°
W130.009460°		 →
↑
51.54 m
↓
↑
51.54 m
↓
N 80.285885°
W130.012207°		 ← 51.54 m →
2 656 m²		 N 80.285885°
W130.009460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138858795166016 y=0.107616424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138858795166016 × 217)
    floor (0.138858795166016 × 131072)
    floor (18200.5)     		tx = 18200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107616424560547 × 217)
    floor (0.107616424560547 × 131072)
    floor (14105.5)     		ty = 14105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18200 / 14105 ti = "17/18200/14105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18200/14105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18200 ÷ 217
    18200 ÷ 131072     		x = 0.13885498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14105 ÷ 217
    14105 ÷ 131072     		y = 0.107612609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13885498046875 × 2 - 1) × π
    -0.7222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26914108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107612609863281 × 2 - 1) × π
    0.784774780273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.46544268435911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26914108} λ = -2.26914108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46544268435911))-π/2
    2×atan(11.7686908143493)-π/2
    2×1.48602872727208-π/2
    2.97205745454416-1.57079632675     		φ = 1.40126113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26914108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.012207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40126113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.286349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18200 KachelY 14105 -2.26914108 1.40126113 -130.012207 80.286349
    Oben rechts KachelX + 1 18201 KachelY 14105 -2.26909314 1.40126113 -130.009460 80.286349
    Unten links KachelX 18200 KachelY + 1 14106 -2.26914108 1.40125304 -130.012207 80.285885
    Unten rechts KachelX + 1 18201 KachelY + 1 14106 -2.26909314 1.40125304 -130.009460 80.285885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40126113-1.40125304) × R
    8.08999999990512e-06 × 6371000     		dl = 51.5413899993955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40126113-1.40125304) × R
    8.08999999990512e-06 × 6371000     		dr = 51.5413899993955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26914108--2.26909314) × cos(1.40126113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168724227849682 × 6371000     		do = 51.5327221468841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26914108--2.26909314) × cos(1.40125304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168732201860233 × 6371000     		du = 51.5351576149573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40126113)-sin(1.40125304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168724227849682-0.168732201860233)×R²
    abs(-2.26909314--2.26914108)×7.97401055074864e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.97401055074864e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.97401055074864e-06×40589641000000     		ar = 2656.13089356101m²