Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1820 / 1131
↖ ↑ ↗
← N 62.471724°
W 20.039063°		 ← 4 516.94 m → N 62.471724°
W 19.951172°		 →
↑
4 520.03 m
↓
↑
4 520.03 m
↓
N 62.431074°
W 20.039063°		 ← 4 523.09 m →
20 430 616 m²		 N 62.431074°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4444580078125 y=0.2762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4444580078125 × 212)
    floor (0.4444580078125 × 4096)
    floor (1820.5)     		tx = 1820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2762451171875 × 212)
    floor (0.2762451171875 × 4096)
    floor (1131.5)     		ty = 1131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1820 / 1131 ti = "12/1820/1131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1820/1131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1820 ÷ 212
    1820 ÷ 4096     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1131 ÷ 212
    1131 ÷ 4096     		y = 0.276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276123046875 × 2 - 1) × π
    0.44775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40666038245093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40666038245093))-π/2
    2×atan(4.08229929530603)-π/2
    2×1.33056679749754-π/2
    2.66113359499508-1.57079632675     		φ = 1.09033727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09033727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.471724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1820 KachelY 1131 -0.34974762 1.09033727 -20.039063 62.471724
    Oben rechts KachelX + 1 1821 KachelY 1131 -0.34821364 1.09033727 -19.951172 62.471724
    Unten links KachelX 1820 KachelY + 1 1132 -0.34974762 1.08962780 -20.039063 62.431074
    Unten rechts KachelX + 1 1821 KachelY + 1 1132 -0.34821364 1.08962780 -19.951172 62.431074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09033727-1.08962780) × R
    0.000709470000000101 × 6371000     		dl = 4520.03337000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09033727-1.08962780) × R
    0.000709470000000101 × 6371000     		dr = 4520.03337000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34821364) × cos(1.09033727) × R
    0.00153397999999999 × 0.462186307917435 × 6371000     		do = 4516.94058473681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34821364) × cos(1.08962780) × R
    0.00153397999999999 × 0.462815337370534 × 6371000     		du = 4523.08808114038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09033727)-sin(1.08962780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462186307917435-0.462815337370534)×R²
    abs(-0.34821364--0.34974762)×0.000629029453099172×R²
    0.00153397999999999×0.000629029453099172×6371000²
    0.00153397999999999×0.000629029453099172×40589641000000     		ar = 20430616.4747432m²