Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 182 / 245
↖ ↑ ↗
← N 68.007571°
W116.015625°		 ← 14.639 km → N 68.007571°
W115.664063°		 →
↑
14.681 km
↓
↑
14.681 km
↓
N 67.875541°
W116.015625°		 ← 14.723 km →
215.533 km²		 N 67.875541°
W115.664063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17822265625 y=0.23974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17822265625 × 210)
    floor (0.17822265625 × 1024)
    floor (182.5)     		tx = 182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23974609375 × 210)
    floor (0.23974609375 × 1024)
    floor (245.5)     		ty = 245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 182 / 245 ti = "10/182/245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/182/245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 182 ÷ 210
    182 ÷ 1024     		x = 0.177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 245 ÷ 210
    245 ÷ 1024     		y = 0.2392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177734375 × 2 - 1) × π
    -0.64453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.02485464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2392578125 × 2 - 1) × π
    0.521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63829148141504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02485464} λ = -2.02485464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63829148141504))-π/2
    2×atan(5.1463693290933)-π/2
    2×1.37887617866302-π/2
    2.75775235732603-1.57079632675     		φ = 1.18695603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02485464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18695603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.007571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 182 KachelY 245 -2.02485464 1.18695603 -116.015625 68.007571
    Oben rechts KachelX + 1 183 KachelY 245 -2.01871872 1.18695603 -115.664063 68.007571
    Unten links KachelX 182 KachelY + 1 246 -2.02485464 1.18465168 -116.015625 67.875541
    Unten rechts KachelX + 1 183 KachelY + 1 246 -2.01871872 1.18465168 -115.664063 67.875541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18695603-1.18465168) × R
    0.00230434999999996 × 6371000     		dl = 14681.0138499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18695603-1.18465168) × R
    0.00230434999999996 × 6371000     		dr = 14681.0138499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02485464--2.01871872) × cos(1.18695603) × R
    0.00613592000000018 × 0.374484073328689 × 6371000     		do = 14639.3112922605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02485464--2.01871872) × cos(1.18465168) × R
    0.00613592000000018 × 0.376619747339496 × 6371000     		du = 14722.798946048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18695603)-sin(1.18465168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374484073328689-0.376619747339496)×R²
    abs(-2.01871872--2.02485464)×0.00213567401080633×R²
    0.00613592000000018×0.00213567401080633×6371000²
    0.00613592000000018×0.00213567401080633×40589641000000     		ar = 215532868.91074m²