Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18199 / 52435
↖ ↑ ↗
← S 72.742892°
W 80.029907°		 ← 181.20 m → S 72.742892°
W 80.024414°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
S 72.744522°
W 80.029907°		 ← 181.18 m →
32 830 m²		 S 72.744522°
W 80.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277702331542969 y=0.800102233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277702331542969 × 216)
    floor (0.277702331542969 × 65536)
    floor (18199.5)     		tx = 18199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800102233886719 × 216)
    floor (0.800102233886719 × 65536)
    floor (52435.5)     		ty = 52435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18199 / 52435 ti = "16/18199/52435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18199/52435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18199 ÷ 216
    18199 ÷ 65536     		x = 0.277694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52435 ÷ 216
    52435 ÷ 65536     		y = 0.800094604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277694702148438 × 2 - 1) × π
    -0.444610595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39678538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800094604492188 × 2 - 1) × π
    -0.600189208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88555000965529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39678538} λ = -1.39678538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88555000965529))-π/2
    2×atan(0.151745574941533)-π/2
    2×0.15059667266002-π/2
    0.30119334532004-1.57079632675     		φ = -1.26960298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39678538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.029907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26960298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.742892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18199 KachelY 52435 -1.39678538 -1.26960298 -80.029907 -72.742892
    Oben rechts KachelX + 1 18200 KachelY 52435 -1.39668951 -1.26960298 -80.024414 -72.742892
    Unten links KachelX 18199 KachelY + 1 52436 -1.39678538 -1.26963142 -80.029907 -72.744522
    Unten rechts KachelX + 1 18200 KachelY + 1 52436 -1.39668951 -1.26963142 -80.024414 -72.744522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26960298--1.26963142) × R
    2.84400000001295e-05 × 6371000     		dl = 181.191240000825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26960298--1.26963142) × R
    2.84400000001295e-05 × 6371000     		dr = 181.191240000825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39678538--1.39668951) × cos(-1.26960298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296660043706423 × 6371000     		do = 181.196326543545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39678538--1.39668951) × cos(-1.26963142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296632883865641 × 6371000     		du = 181.17973764496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26960298)-sin(-1.26963142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296660043706423-0.296632883865641)×R²
    abs(-1.39668951--1.39678538)×2.71598407818319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71598407818319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71598407818319e-05×40589641000000     		ar = 32829.6842107807m²