Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18198 / 52598
↖ ↑ ↗
← S 73.006545°
W 80.035400°		 ← 178.51 m → S 73.006545°
W 80.029907°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 73.008150°
W 80.035400°		 ← 178.49 m →
31 865 m²		 S 73.008150°
W 80.029907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277687072753906 y=0.802589416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277687072753906 × 216)
    floor (0.277687072753906 × 65536)
    floor (18198.5)     		tx = 18198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802589416503906 × 216)
    floor (0.802589416503906 × 65536)
    floor (52598.5)     		ty = 52598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18198 / 52598 ti = "16/18198/52598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18198/52598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18198 ÷ 216
    18198 ÷ 65536     		x = 0.277679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52598 ÷ 216
    52598 ÷ 65536     		y = 0.802581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.44464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39688125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.60516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90117743893143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39688125} λ = -1.39688125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90117743893143))-π/2
    2×atan(0.149392614944921)-π/2
    2×0.148295875132003-π/2
    0.296591750264006-1.57079632675     		φ = -1.27420458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39688125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.035400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27420458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.006545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18198 KachelY 52598 -1.39688125 -1.27420458 -80.035400 -73.006545
    Oben rechts KachelX + 1 18199 KachelY 52598 -1.39678538 -1.27420458 -80.029907 -73.006545
    Unten links KachelX 18198 KachelY + 1 52599 -1.39688125 -1.27423260 -80.035400 -73.008150
    Unten rechts KachelX + 1 18199 KachelY + 1 52599 -1.39678538 -1.27423260 -80.029907 -73.008150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27420458--1.27423260) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dl = 178.515420000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27420458--1.27423260) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dr = 178.515420000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39688125--1.39678538) × cos(-1.27420458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292262467906336 × 6371000     		do = 178.510341027204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39688125--1.39678538) × cos(-1.27423260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292235671196753 × 6371000     		du = 178.493973924714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27420458)-sin(-1.27423260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292262467906336-0.292235671196753)×R²
    abs(-1.39678538--1.39688125)×2.67967095832766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67967095832766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67967095832766e-05×40589641000000     		ar = 31865.3876148849m²