Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18197 / 52582
↖ ↑ ↗
← S 72.980838°
W 80.040894°		 ← 178.79 m → S 72.980838°
W 80.035400°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
S 72.982446°
W 80.040894°		 ← 178.77 m →
31 961 m²		 S 72.982446°
W 80.035400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277671813964844 y=0.802345275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277671813964844 × 216)
    floor (0.277671813964844 × 65536)
    floor (18197.5)     		tx = 18197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802345275878906 × 216)
    floor (0.802345275878906 × 65536)
    floor (52582.5)     		ty = 52582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18197 / 52582 ti = "16/18197/52582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18197/52582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18197 ÷ 216
    18197 ÷ 65536     		x = 0.277664184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52582 ÷ 216
    52582 ÷ 65536     		y = 0.802337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277664184570312 × 2 - 1) × π
    -0.444671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39697713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.60467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89964345814359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39697713} λ = -1.39697713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89964345814359))-π/2
    2×atan(0.149621956203662)-π/2
    2×0.148520202136531-π/2
    0.297040404273063-1.57079632675     		φ = -1.27375592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39697713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.040894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27375592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.980838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18197 KachelY 52582 -1.39697713 -1.27375592 -80.040894 -72.980838
    Oben rechts KachelX + 1 18198 KachelY 52582 -1.39688125 -1.27375592 -80.035400 -72.980838
    Unten links KachelX 18197 KachelY + 1 52583 -1.39697713 -1.27378398 -80.040894 -72.982446
    Unten rechts KachelX + 1 18198 KachelY + 1 52583 -1.39688125 -1.27378398 -80.035400 -72.982446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27375592--1.27378398) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27375592--1.27378398) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39697713--1.39688125) × cos(-1.27375592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292691509149007 × 6371000     		do = 178.791041546987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39697713--1.39688125) × cos(-1.27378398) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292664677867511 × 6371000     		du = 178.774651618975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27375592)-sin(-1.27378398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292691509149007-0.292664677867511)×R²
    abs(-1.39688125--1.39697713)×2.68312814960536e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68312814960536e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68312814960536e-05×40589641000000     		ar = 31961.0559694746m²