Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18197 / 23980
↖ ↑ ↗
← S 63.763065°
E 19.918213°		 ← 540.04 m → S 63.763065°
E 19.929199°		 →
↑
540.01 m
↓
↑
540.01 m
↓
S 63.767922°
E 19.918213°		 ← 539.95 m →
291 599 m²		 S 63.767922°
E 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555343627929688 y=0.731826782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555343627929688 × 215)
    floor (0.555343627929688 × 32768)
    floor (18197.5)     		tx = 18197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731826782226562 × 215)
    floor (0.731826782226562 × 32768)
    floor (23980.5)     		ty = 23980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18197 / 23980 ti = "15/18197/23980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18197/23980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18197 ÷ 215
    18197 ÷ 32768     		x = 0.555328369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23980 ÷ 215
    23980 ÷ 32768     		y = 0.7318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555328369140625 × 2 - 1) × π
    0.11065673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34763840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45651475805579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34763840} λ = 0.34763840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45651475805579))-π/2
    2×atan(0.233047086452189)-π/2
    2×0.228960449076661-π/2
    0.457920898153323-1.57079632675     		φ = -1.11287543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34763840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.918213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11287543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.763065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18197 KachelY 23980 0.34763840 -1.11287543 19.918213 -63.763065
    Oben rechts KachelX + 1 18198 KachelY 23980 0.34783014 -1.11287543 19.929199 -63.763065
    Unten links KachelX 18197 KachelY + 1 23981 0.34763840 -1.11296019 19.918213 -63.767922
    Unten rechts KachelX + 1 18198 KachelY + 1 23981 0.34783014 -1.11296019 19.929199 -63.767922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11287543--1.11296019) × R
    8.4759999999795e-05 × 6371000     		dl = 540.005959998694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11287543--1.11296019) × R
    8.4759999999795e-05 × 6371000     		dr = 540.005959998694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34763840-0.34783014) × cos(-1.11287543) × R
    0.000191739999999996 × 0.442084163167885 × 6371000     		do = 540.039200347246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34763840-0.34783014) × cos(-1.11296019) × R
    0.000191739999999996 × 0.44200813409981 × 6371000     		du = 539.946325097357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11287543)-sin(-1.11296019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442084163167885-0.44200813409981)×R²
    abs(0.34783014-0.34763840)×7.60290680747455e-05×R²
    0.000191739999999996×7.60290680747455e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.60290680747455e-05×40589641000000     		ar = 291599.310400734m²