Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18192 / 52492
↖ ↑ ↗
← S 72.835538°
W 80.068360°		 ← 180.27 m → S 72.835538°
W 80.062866°		 →
↑
180.24 m
↓
↑
180.24 m
↓
S 72.837159°
W 80.068360°		 ← 180.26 m →
32 490 m²		 S 72.837159°
W 80.062866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277595520019531 y=0.800971984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277595520019531 × 216)
    floor (0.277595520019531 × 65536)
    floor (18192.5)     		tx = 18192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800971984863281 × 216)
    floor (0.800971984863281 × 65536)
    floor (52492.5)     		ty = 52492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18192 / 52492 ti = "16/18192/52492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18192/52492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18192 ÷ 216
    18192 ÷ 65536     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52492 ÷ 216
    52492 ÷ 65536     		y = 0.80096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80096435546875 × 2 - 1) × π
    -0.6019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89101481621198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89101481621198))-π/2
    2×atan(0.150918576480082)-π/2
    2×0.149788189631438-π/2
    0.299576379262876-1.57079632675     		φ = -1.27121995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27121995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.835538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18192 KachelY 52492 -1.39745650 -1.27121995 -80.068360 -72.835538
    Oben rechts KachelX + 1 18193 KachelY 52492 -1.39736062 -1.27121995 -80.062866 -72.835538
    Unten links KachelX 18192 KachelY + 1 52493 -1.39745650 -1.27124824 -80.068360 -72.837159
    Unten rechts KachelX + 1 18193 KachelY + 1 52493 -1.39736062 -1.27124824 -80.062866 -72.837159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27121995--1.27124824) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dl = 180.23558999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27121995--1.27124824) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dr = 180.23558999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39736062) × cos(-1.27121995) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.29511547745144 × 6371000     		do = 180.271726172418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39736062) × cos(-1.27124824) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.295088447324894 × 6371000     		du = 180.255214779613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27121995)-sin(-1.27124824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29511547745144-0.295088447324894)×R²
    abs(-1.39736062--1.39745650)×2.70301265455353e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.70301265455353e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.70301265455353e-05×40589641000000     		ar = 32489.8929591031m²