Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18192 / 51280
↖ ↑ ↗
← S 70.757966°
W 80.068360°		 ← 201.31 m → S 70.757966°
W 80.062866°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
S 70.759776°
W 80.068360°		 ← 201.29 m →
40 527 m²		 S 70.759776°
W 80.062866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277595520019531 y=0.782478332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277595520019531 × 216)
    floor (0.277595520019531 × 65536)
    floor (18192.5)     		tx = 18192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782478332519531 × 216)
    floor (0.782478332519531 × 65536)
    floor (51280.5)     		ty = 51280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18192 / 51280 ti = "16/18192/51280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18192/51280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18192 ÷ 216
    18192 ÷ 65536     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51280 ÷ 216
    51280 ÷ 65536     		y = 0.782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.56494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77481577153296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77481577153296))-π/2
    2×atan(0.169514676051882)-π/2
    2×0.167918427307679-π/2
    0.335836854615358-1.57079632675     		φ = -1.23495947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23495947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.757966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18192 KachelY 51280 -1.39745650 -1.23495947 -80.068360 -70.757966
    Oben rechts KachelX + 1 18193 KachelY 51280 -1.39736062 -1.23495947 -80.062866 -70.757966
    Unten links KachelX 18192 KachelY + 1 51281 -1.39745650 -1.23499107 -80.068360 -70.759776
    Unten rechts KachelX + 1 18193 KachelY + 1 51281 -1.39736062 -1.23499107 -80.062866 -70.759776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23495947--1.23499107) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23495947--1.23499107) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39736062) × cos(-1.23495947) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.329559390843107 × 6371000     		do = 201.311841644744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39736062) × cos(-1.23499107) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.329529556017428 × 6371000     		du = 201.293616997323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23495947)-sin(-1.23499107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329559390843107-0.329529556017428)×R²
    abs(-1.39736062--1.39745650)×2.98348256790315e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.98348256790315e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.98348256790315e-05×40589641000000     		ar = 40526.9901600502m²