Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18192 / 22577
↖ ↑ ↗
← N 75.463416°
W130.034180°		 ← 76.66 m → N 75.463416°
W130.031433°		 →
↑
76.64 m
↓
↑
76.64 m
↓
N 75.462727°
W130.034180°		 ← 76.66 m →
5 876 m²		 N 75.462727°
W130.031433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138797760009766 y=0.172252655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138797760009766 × 217)
    floor (0.138797760009766 × 131072)
    floor (18192.5)     		tx = 18192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172252655029297 × 217)
    floor (0.172252655029297 × 131072)
    floor (22577.5)     		ty = 22577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18192 / 22577 ti = "17/18192/22577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18192/22577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18192 ÷ 217
    18192 ÷ 131072     		x = 0.1387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22577 ÷ 217
    22577 ÷ 131072     		y = 0.172248840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26952458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172248840332031 × 2 - 1) × π
    0.655502319335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.05932127077799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26952458} λ = -2.26952458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05932127077799))-π/2
    2×atan(7.84064632813902)-π/2
    2×1.44394069806948-π/2
    2.88788139613897-1.57079632675     		φ = 1.31708507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26952458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.034180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31708507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.463416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18192 KachelY 22577 -2.26952458 1.31708507 -130.034180 75.463416
    Oben rechts KachelX + 1 18193 KachelY 22577 -2.26947664 1.31708507 -130.031433 75.463416
    Unten links KachelX 18192 KachelY + 1 22578 -2.26952458 1.31707304 -130.034180 75.462727
    Unten rechts KachelX + 1 18193 KachelY + 1 22578 -2.26947664 1.31707304 -130.031433 75.462727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31708507-1.31707304) × R
    1.20300000001627e-05 × 6371000     		dl = 76.6431300010368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31708507-1.31707304) × R
    1.20300000001627e-05 × 6371000     		dr = 76.6431300010368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26952458--2.26947664) × cos(1.31708507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250998130010427 × 6371000     		do = 76.6612895970005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26952458--2.26947664) × cos(1.31707304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25100977488275 × 6371000     		du = 76.6648462407472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31708507)-sin(1.31707304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250998130010427-0.25100977488275)×R²
    abs(-2.26947664--2.26952458)×1.16448723236351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16448723236351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16448723236351e-05×40589641000000     		ar = 5875.6974808412m²