Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18191 / 51281
↖ ↑ ↗
← S 70.759776°
W 80.073852°		 ← 201.27 m → S 70.759776°
W 80.068360°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
S 70.761586°
W 80.073852°		 ← 201.25 m →
40 506 m²		 S 70.761586°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277580261230469 y=0.782493591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277580261230469 × 216)
    floor (0.277580261230469 × 65536)
    floor (18191.5)     		tx = 18191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782493591308594 × 216)
    floor (0.782493591308594 × 65536)
    floor (51281.5)     		ty = 51281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18191 / 51281 ti = "16/18191/51281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18191/51281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18191 ÷ 216
    18191 ÷ 65536     		x = 0.277572631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51281 ÷ 216
    51281 ÷ 65536     		y = 0.782485961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277572631835938 × 2 - 1) × π
    -0.444854736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39755237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782485961914062 × 2 - 1) × π
    -0.564971923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7749116453322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39755237} λ = -1.39755237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7749116453322))-π/2
    2×atan(0.169498424814908)-π/2
    2×0.167902629967324-π/2
    0.335805259934647-1.57079632675     		φ = -1.23499107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39755237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.073852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23499107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.759776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18191 KachelY 51281 -1.39755237 -1.23499107 -80.073852 -70.759776
    Oben rechts KachelX + 1 18192 KachelY 51281 -1.39745650 -1.23499107 -80.068360 -70.759776
    Unten links KachelX 18191 KachelY + 1 51282 -1.39755237 -1.23502266 -80.073852 -70.761586
    Unten rechts KachelX + 1 18192 KachelY + 1 51282 -1.39745650 -1.23502266 -80.068360 -70.761586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23499107--1.23502266) × R
    3.15900000000813e-05 × 6371000     		dl = 201.259890000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23499107--1.23502266) × R
    3.15900000000813e-05 × 6371000     		dr = 201.259890000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39755237--1.39745650) × cos(-1.23499107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329529556017428 × 6371000     		do = 201.27262266897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39755237--1.39745650) × cos(-1.23502266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32949973030425 × 6371000     		du = 201.25440548813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23499107)-sin(-1.23502266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329529556017428-0.32949973030425)×R²
    abs(-1.39745650--1.39755237)×2.98257131773894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98257131773894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98257131773894e-05×40589641000000     		ar = 40506.2727079442m²