Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18190 / 23986
↖ ↑ ↗
← S 63.792192°
E 19.841308°		 ← 539.51 m → S 63.792192°
E 19.852295°		 →
↑
539.43 m
↓
↑
539.43 m
↓
S 63.797043°
E 19.841308°		 ← 539.42 m →
291 004 m²		 S 63.797043°
E 19.852295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555130004882812 y=0.732009887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555130004882812 × 215)
    floor (0.555130004882812 × 32768)
    floor (18190.5)     		tx = 18190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732009887695312 × 215)
    floor (0.732009887695312 × 32768)
    floor (23986.5)     		ty = 23986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18190 / 23986 ti = "15/18190/23986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18190/23986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18190 ÷ 215
    18190 ÷ 32768     		x = 0.55511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23986 ÷ 215
    23986 ÷ 32768     		y = 0.73199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55511474609375 × 2 - 1) × π
    0.1102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34629616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4639892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45766524364667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34629616} λ = 0.34629616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45766524364667))-π/2
    2×atan(0.232779123310652)-π/2
    2×0.228706274528002-π/2
    0.457412549056004-1.57079632675     		φ = -1.11338378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34629616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.841308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11338378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.792192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18190 KachelY 23986 0.34629616 -1.11338378 19.841308 -63.792192
    Oben rechts KachelX + 1 18191 KachelY 23986 0.34648791 -1.11338378 19.852295 -63.792192
    Unten links KachelX 18190 KachelY + 1 23987 0.34629616 -1.11346845 19.841308 -63.797043
    Unten rechts KachelX + 1 18191 KachelY + 1 23987 0.34648791 -1.11346845 19.852295 -63.797043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11338378--1.11346845) × R
    8.46700000001199e-05 × 6371000     		dl = 539.432570000764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11338378--1.11346845) × R
    8.46700000001199e-05 × 6371000     		dr = 539.432570000764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34629616-0.34648791) × cos(-1.11338378) × R
    0.000191749999999991 × 0.441628129549486 × 6371000     		do = 539.510256961711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34629616-0.34648791) × cos(-1.11346845) × R
    0.000191749999999991 × 0.441552162195668 × 6371000     		du = 539.417452260567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11338378)-sin(-1.11346845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441628129549486-0.441552162195668)×R²
    abs(0.34648791-0.34629616)×7.59673538185957e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59673538185957e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59673538185957e-05×40589641000000     		ar = 291004.373689927m²