Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1819 / 915
↖ ↑ ↗
← N 70.050596°
W 20.126953°		 ← 3 334.45 m → N 70.050596°
W 20.039063°		 →
↑
3 336.87 m
↓
↑
3 336.87 m
↓
N 70.020587°
W 20.126953°		 ← 3 339.26 m →
11 134 661 m²		 N 70.020587°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4442138671875 y=0.2235107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4442138671875 × 212)
    floor (0.4442138671875 × 4096)
    floor (1819.5)     		tx = 1819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2235107421875 × 212)
    floor (0.2235107421875 × 4096)
    floor (915.5)     		ty = 915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1819 / 915 ti = "12/1819/915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1819/915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1819 ÷ 212
    1819 ÷ 4096     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 915 ÷ 212
    915 ÷ 4096     		y = 0.223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223388671875 × 2 - 1) × π
    0.55322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73800023262476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73800023262476))-π/2
    2×atan(5.68596144561607)-π/2
    2×1.39670493803546-π/2
    2.79340987607093-1.57079632675     		φ = 1.22261355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22261355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.050596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1819 KachelY 915 -0.35128160 1.22261355 -20.126953 70.050596
    Oben rechts KachelX + 1 1820 KachelY 915 -0.34974762 1.22261355 -20.039063 70.050596
    Unten links KachelX 1819 KachelY + 1 916 -0.35128160 1.22208979 -20.126953 70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 1820 KachelY + 1 916 -0.34974762 1.22208979 -20.039063 70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22261355-1.22208979) × R
    0.000523759999999873 × 6371000     		dl = 3336.87495999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22261355-1.22208979) × R
    0.000523759999999873 × 6371000     		dr = 3336.87495999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.34974762) × cos(1.22261355) × R
    0.00153398000000005 × 0.341190192327367 × 6371000     		do = 3334.44717084307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.34974762) × cos(1.22208979) × R
    0.00153398000000005 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 3339.25826148482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22261355)-sin(1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341190192327367-0.341682476912264)×R²
    abs(-0.34974762--0.35128160)×0.000492284584897917×R²
    0.00153398000000005×0.000492284584897917×6371000²
    0.00153398000000005×0.000492284584897917×40589641000000     		ar = 11134660.5283179m²