Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1819 / 1219
↖ ↑ ↗
← N 58.676938°
W 20.126953°		 ← 5 080.61 m → N 58.676938°
W 20.039063°		 →
↑
5 083.99 m
↓
↑
5 083.99 m
↓
N 58.631216°
W 20.126953°		 ← 5 087.27 m →
25 846 745 m²		 N 58.631216°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4442138671875 y=0.2977294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4442138671875 × 212)
    floor (0.4442138671875 × 4096)
    floor (1819.5)     		tx = 1819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2977294921875 × 212)
    floor (0.2977294921875 × 4096)
    floor (1219.5)     		ty = 1219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1819 / 1219 ti = "12/1819/1219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1819/1219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1819 ÷ 212
    1819 ÷ 4096     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1219 ÷ 212
    1219 ÷ 4096     		y = 0.297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297607421875 × 2 - 1) × π
    0.40478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27167007312085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27167007312085))-π/2
    2×atan(3.56680441513851)-π/2
    2×1.29745104207507-π/2
    2.59490208415014-1.57079632675     		φ = 1.02410576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02410576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.676938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1819 KachelY 1219 -0.35128160 1.02410576 -20.126953 58.676938
    Oben rechts KachelX + 1 1820 KachelY 1219 -0.34974762 1.02410576 -20.039063 58.676938
    Unten links KachelX 1819 KachelY + 1 1220 -0.35128160 1.02330777 -20.126953 58.631216
    Unten rechts KachelX + 1 1820 KachelY + 1 1220 -0.34974762 1.02330777 -20.039063 58.631216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02410576-1.02330777) × R
    0.000797990000000137 × 6371000     		dl = 5083.99429000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02410576-1.02330777) × R
    0.000797990000000137 × 6371000     		dr = 5083.99429000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.34974762) × cos(1.02410576) × R
    0.00153398000000005 × 0.51986299879566 × 6371000     		do = 5080.6141106687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.34974762) × cos(1.02330777) × R
    0.00153398000000005 × 0.520544515879301 × 6371000     		du = 5087.27456798116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02410576)-sin(1.02330777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51986299879566-0.520544515879301)×R²
    abs(-0.34974762--0.35128160)×0.000681517083640726×R²
    0.00153398000000005×0.000681517083640726×6371000²
    0.00153398000000005×0.000681517083640726×40589641000000     		ar = 25846745.3633801m²