Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18189 / 52550
↖ ↑ ↗
← S 72.929313°
W 80.084839°		 ← 179.30 m → S 72.929313°
W 80.079346°		 →
↑
179.28 m
↓
↑
179.28 m
↓
S 72.930926°
W 80.084839°		 ← 179.28 m →
32 143 m²		 S 72.930926°
W 80.079346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277549743652344 y=0.801856994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277549743652344 × 216)
    floor (0.277549743652344 × 65536)
    floor (18189.5)     		tx = 18189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801856994628906 × 216)
    floor (0.801856994628906 × 65536)
    floor (52550.5)     		ty = 52550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18189 / 52550 ti = "16/18189/52550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18189/52550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18189 ÷ 216
    18189 ÷ 65536     		x = 0.277542114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52550 ÷ 216
    52550 ÷ 65536     		y = 0.801849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277542114257812 × 2 - 1) × π
    -0.444915771484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39774412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.60369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8965754965679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39774412} λ = -1.39774412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8965754965679))-π/2
    2×atan(0.150081695486798)-π/2
    2×0.14896984443839-π/2
    0.297939688876779-1.57079632675     		φ = -1.27285664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39774412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.084839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27285664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.929313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18189 KachelY 52550 -1.39774412 -1.27285664 -80.084839 -72.929313
    Oben rechts KachelX + 1 18190 KachelY 52550 -1.39764825 -1.27285664 -80.079346 -72.929313
    Unten links KachelX 18189 KachelY + 1 52551 -1.39774412 -1.27288478 -80.084839 -72.930926
    Unten rechts KachelX + 1 18190 KachelY + 1 52551 -1.39764825 -1.27288478 -80.079346 -72.930926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27285664--1.27288478) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dl = 179.279939999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27285664--1.27288478) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dr = 179.279939999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39774412--1.39764825) × cos(-1.27285664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29355128844477 × 6371000     		do = 179.297536849804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39774412--1.39764825) × cos(-1.27288478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293524388083376 × 6371000     		du = 179.281106438056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27285664)-sin(-1.27288478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29355128844477-0.293524388083376)×R²
    abs(-1.39764825--1.39774412)×2.69003613941332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69003613941332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69003613941332e-05×40589641000000     		ar = 32142.9788290644m²