Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18188 / 52548
↖ ↑ ↗
← S 72.926088°
W 80.090332°		 ← 179.33 m → S 72.926088°
W 80.084839°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
S 72.927701°
W 80.090332°		 ← 179.31 m →
32 160 m²		 S 72.927701°
W 80.084839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277534484863281 y=0.801826477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277534484863281 × 216)
    floor (0.277534484863281 × 65536)
    floor (18188.5)     		tx = 18188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801826477050781 × 216)
    floor (0.801826477050781 × 65536)
    floor (52548.5)     		ty = 52548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18188 / 52548 ti = "16/18188/52548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18188/52548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18188 ÷ 216
    18188 ÷ 65536     		x = 0.27752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52548 ÷ 216
    52548 ÷ 65536     		y = 0.80181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39783999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.6036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89638374896942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39783999} λ = -1.39783999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89638374896942))-π/2
    2×atan(0.150110476050697)-π/2
    2×0.148997990895402-π/2
    0.297995981790804-1.57079632675     		φ = -1.27280034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39783999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.090332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27280034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.926088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18188 KachelY 52548 -1.39783999 -1.27280034 -80.090332 -72.926088
    Oben rechts KachelX + 1 18189 KachelY 52548 -1.39774412 -1.27280034 -80.084839 -72.926088
    Unten links KachelX 18188 KachelY + 1 52549 -1.39783999 -1.27282849 -80.090332 -72.927701
    Unten rechts KachelX + 1 18189 KachelY + 1 52549 -1.39774412 -1.27282849 -80.084839 -72.927701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27280034--1.27282849) × R
    2.81499999998935e-05 × 6371000     		dl = 179.343649999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27280034--1.27282849) × R
    2.81499999998935e-05 × 6371000     		dr = 179.343649999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39783999--1.39774412) × cos(-1.27280034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293605107588719 × 6371000     		do = 179.33040892472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39783999--1.39774412) × cos(-1.27282849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293578198133064 × 6371000     		du = 179.313972958308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27280034)-sin(-1.27282849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293605107588719-0.293578198133064)×R²
    abs(-1.39774412--1.39783999)×2.69094556553107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69094556553107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69094556553107e-05×40589641000000     		ar = 32160.2962515057m²