Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18188 / 14189
↖ ↑ ↗
← N 80.247345°
W130.045166°		 ← 51.73 m → N 80.247345°
W130.042420°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.246879°
W130.045166°		 ← 51.73 m →
2 676 m²		 N 80.246879°
W130.042420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138767242431641 y=0.108257293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138767242431641 × 217)
    floor (0.138767242431641 × 131072)
    floor (18188.5)     		tx = 18188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108257293701172 × 217)
    floor (0.108257293701172 × 131072)
    floor (14189.5)     		ty = 14189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18188 / 14189 ti = "17/18188/14189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18188/14189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18188 ÷ 217
    18188 ÷ 131072     		x = 0.138763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14189 ÷ 217
    14189 ÷ 131072     		y = 0.108253479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.72247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26971632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108253479003906 × 2 - 1) × π
    0.783493041992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.46141598479102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26971632} λ = -2.26971632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46141598479102))-π/2
    2×atan(11.7213971147929)-π/2
    2×1.4856883513821-π/2
    2.9713767027642-1.57079632675     		φ = 1.40058038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26971632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.045166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40058038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.247345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18188 KachelY 14189 -2.26971632 1.40058038 -130.045166 80.247345
    Oben rechts KachelX + 1 18189 KachelY 14189 -2.26966839 1.40058038 -130.042420 80.247345
    Unten links KachelX 18188 KachelY + 1 14190 -2.26971632 1.40057226 -130.045166 80.246879
    Unten rechts KachelX + 1 18189 KachelY + 1 14190 -2.26966839 1.40057226 -130.042420 80.246879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40058038-1.40057226) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dl = 51.7325200010632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40058038-1.40057226) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dr = 51.7325200010632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26971632--2.26966839) × cos(1.40058038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169395178992113 × 6371000     		do = 51.7268557292767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26971632--2.26966839) × cos(1.40057226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16940318163799 × 6371000     		du = 51.729299433467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40058038)-sin(1.40057226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169395178992113-0.16940318163799)×R²
    abs(-2.26966839--2.26971632)×8.00264587708099e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.00264587708099e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.00264587708099e-06×40589641000000     		ar = 2676.0238082597m²