Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18187 / 14132
↖ ↑ ↗
← N 80.273828°
W130.047913°		 ← 51.60 m → N 80.273828°
W130.045166°		 →
↑
51.61 m
↓
↑
51.61 m
↓
N 80.273364°
W130.047913°		 ← 51.60 m →
2 663 m²		 N 80.273364°
W130.045166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138759613037109 y=0.107822418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138759613037109 × 217)
    floor (0.138759613037109 × 131072)
    floor (18187.5)     		tx = 18187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107822418212891 × 217)
    floor (0.107822418212891 × 131072)
    floor (14132.5)     		ty = 14132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18187 / 14132 ti = "17/18187/14132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18187/14132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18187 ÷ 217
    18187 ÷ 131072     		x = 0.138755798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14132 ÷ 217
    14132 ÷ 131072     		y = 0.107818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138755798339844 × 2 - 1) × π
    -0.722488403320312 × 3.1415926535     		Λ = -2.26976426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107818603515625 × 2 - 1) × π
    0.78436279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46414838806937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26976426} λ = -2.26976426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46414838806937))-π/2
    2×atan(11.7534684947141)-π/2
    2×1.48591946802207-π/2
    2.97183893604413-1.57079632675     		φ = 1.40104261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26976426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.047913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40104261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.273828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18187 KachelY 14132 -2.26976426 1.40104261 -130.047913 80.273828
    Oben rechts KachelX + 1 18188 KachelY 14132 -2.26971632 1.40104261 -130.045166 80.273828
    Unten links KachelX 18187 KachelY + 1 14133 -2.26976426 1.40103451 -130.047913 80.273364
    Unten rechts KachelX + 1 18188 KachelY + 1 14133 -2.26971632 1.40103451 -130.045166 80.273364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40104261-1.40103451) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dl = 51.605100000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40104261-1.40103451) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dr = 51.605100000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26976426--2.26971632) × cos(1.40104261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168939610963241 × 6371000     		do = 51.5985056937263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26976426--2.26971632) × cos(1.40103451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16894759453157 × 6371000     		du = 51.6009440809909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40104261)-sin(1.40103451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168939610963241-0.16894759453157)×R²
    abs(-2.26971632--2.26976426)×7.98356832859559e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.98356832859559e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.98356832859559e-06×40589641000000     		ar = 2662.80896270826m²