Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18186 / 52426
↖ ↑ ↗
← S 72.728220°
W 80.101318°		 ← 181.35 m → S 72.728220°
W 80.095825°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
S 72.729851°
W 80.101318°		 ← 181.33 m →
32 880 m²		 S 72.729851°
W 80.095825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277503967285156 y=0.799964904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277503967285156 × 216)
    floor (0.277503967285156 × 65536)
    floor (18186.5)     		tx = 18186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799964904785156 × 216)
    floor (0.799964904785156 × 65536)
    floor (52426.5)     		ty = 52426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18186 / 52426 ti = "16/18186/52426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18186/52426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18186 ÷ 216
    18186 ÷ 65536     		x = 0.277496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52426 ÷ 216
    52426 ÷ 65536     		y = 0.799957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.44500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39803174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.59991455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88468714546213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39803174} λ = -1.39803174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88468714546213))-π/2
    2×atan(0.151876567270788)-π/2
    2×0.150724714069787-π/2
    0.301449428139573-1.57079632675     		φ = -1.26934690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39803174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.101318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26934690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.728220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18186 KachelY 52426 -1.39803174 -1.26934690 -80.101318 -72.728220
    Oben rechts KachelX + 1 18187 KachelY 52426 -1.39793587 -1.26934690 -80.095825 -72.728220
    Unten links KachelX 18186 KachelY + 1 52427 -1.39803174 -1.26937536 -80.101318 -72.729851
    Unten rechts KachelX + 1 18187 KachelY + 1 52427 -1.39793587 -1.26937536 -80.095825 -72.729851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26934690--1.26937536) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26934690--1.26937536) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39803174--1.39793587) × cos(-1.26934690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296904586061995 × 6371000     		do = 181.345690023575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39803174--1.39793587) × cos(-1.26937536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296877409284243 × 6371000     		du = 181.329090780096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26934690)-sin(-1.26937536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296904586061995-0.296877409284243)×R²
    abs(-1.39793587--1.39803174)×2.71767777521026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71767777521026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71767777521026e-05×40589641000000     		ar = 32879.8526377054m²