Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18184 / 52504
↖ ↑ ↗
← S 72.854981°
W 80.112305°		 ← 180.07 m → S 72.854981°
W 80.106811°		 →
↑
180.04 m
↓
↑
180.04 m
↓
S 72.856600°
W 80.112305°		 ← 180.06 m →
32 420 m²		 S 72.856600°
W 80.106811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277473449707031 y=0.801155090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277473449707031 × 216)
    floor (0.277473449707031 × 65536)
    floor (18184.5)     		tx = 18184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801155090332031 × 216)
    floor (0.801155090332031 × 65536)
    floor (52504.5)     		ty = 52504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18184 / 52504 ti = "16/18184/52504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18184/52504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18184 ÷ 216
    18184 ÷ 65536     		x = 0.2774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52504 ÷ 216
    52504 ÷ 65536     		y = 0.8011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39822349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89216530180286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39822349} λ = -1.39822349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89216530180286))-π/2
    2×atan(0.150745046673357)-π/2
    2×0.149618519852509-π/2
    0.299237039705018-1.57079632675     		φ = -1.27155929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39822349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.112305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27155929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.854981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18184 KachelY 52504 -1.39822349 -1.27155929 -80.112305 -72.854981
    Oben rechts KachelX + 1 18185 KachelY 52504 -1.39812761 -1.27155929 -80.106811 -72.854981
    Unten links KachelX 18184 KachelY + 1 52505 -1.39822349 -1.27158755 -80.112305 -72.856600
    Unten rechts KachelX + 1 18185 KachelY + 1 52505 -1.39812761 -1.27158755 -80.106811 -72.856600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27155929--1.27158755) × R
    2.82600000001132e-05 × 6371000     		dl = 180.044460000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27155929--1.27158755) × R
    2.82600000001132e-05 × 6371000     		dr = 180.044460000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39822349--1.39812761) × cos(-1.27155929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294791234129309 × 6371000     		do = 180.073661658797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39822349--1.39812761) × cos(-1.27158755) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294764229838462 × 6371000     		du = 180.057166047767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27155929)-sin(-1.27158755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294791234129309-0.294764229838462)×R²
    abs(-1.39812761--1.39822349)×2.70042908466217e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.70042908466217e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.70042908466217e-05×40589641000000     		ar = 32419.7802044208m²