Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18183 / 52505
↖ ↑ ↗
← S 72.856600°
W 80.117798°		 ← 180.04 m → S 72.856600°
W 80.112305°		 →
↑
180.04 m
↓
↑
180.04 m
↓
S 72.858219°
W 80.117798°		 ← 180.02 m →
32 413 m²		 S 72.858219°
W 80.112305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277458190917969 y=0.801170349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277458190917969 × 216)
    floor (0.277458190917969 × 65536)
    floor (18183.5)     		tx = 18183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801170349121094 × 216)
    floor (0.801170349121094 × 65536)
    floor (52505.5)     		ty = 52505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18183 / 52505 ti = "16/18183/52505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18183/52505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18183 ÷ 216
    18183 ÷ 65536     		x = 0.277450561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52505 ÷ 216
    52505 ÷ 65536     		y = 0.801162719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277450561523438 × 2 - 1) × π
    -0.445098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39831936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801162719726562 × 2 - 1) × π
    -0.602325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8922611756021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39831936} λ = -1.39831936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8922611756021))-π/2
    2×atan(0.150730594865801)-π/2
    2×0.14960438912187-π/2
    0.29920877824374-1.57079632675     		φ = -1.27158755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39831936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.117798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27158755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.856600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18183 KachelY 52505 -1.39831936 -1.27158755 -80.117798 -72.856600
    Oben rechts KachelX + 1 18184 KachelY 52505 -1.39822349 -1.27158755 -80.112305 -72.856600
    Unten links KachelX 18183 KachelY + 1 52506 -1.39831936 -1.27161581 -80.117798 -72.858219
    Unten rechts KachelX + 1 18184 KachelY + 1 52506 -1.39822349 -1.27161581 -80.112305 -72.858219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27158755--1.27161581) × R
    2.82599999998911e-05 × 6371000     		dl = 180.044459999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27158755--1.27161581) × R
    2.82599999998911e-05 × 6371000     		dr = 180.044459999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39831936--1.39822349) × cos(-1.27158755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294764229838462 × 6371000     		do = 180.038386618798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39831936--1.39822349) × cos(-1.27161581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294737225312209 × 6371000     		du = 180.021892584428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27158755)-sin(-1.27161581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294764229838462-0.294737225312209)×R²
    abs(-1.39822349--1.39831936)×2.70045262532603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70045262532603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70045262532603e-05×40589641000000     		ar = 32413.429270111m²