Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18183 / 22359
↖ ↑ ↗
← N 75.612945°
W130.058899°		 ← 75.89 m → N 75.612945°
W130.056152°		 →
↑
75.94 m
↓
↑
75.94 m
↓
N 75.612262°
W130.058899°		 ← 75.89 m →
5 763 m²		 N 75.612262°
W130.056152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138729095458984 y=0.170589447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138729095458984 × 217)
    floor (0.138729095458984 × 131072)
    floor (18183.5)     		tx = 18183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170589447021484 × 217)
    floor (0.170589447021484 × 131072)
    floor (22359.5)     		ty = 22359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18183 / 22359 ti = "17/18183/22359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18183/22359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18183 ÷ 217
    18183 ÷ 131072     		x = 0.138725280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22359 ÷ 217
    22359 ÷ 131072     		y = 0.170585632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138725280761719 × 2 - 1) × π
    -0.722549438476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.26995601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170585632324219 × 2 - 1) × π
    0.658828735351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.06977151489516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26995601} λ = -2.26995601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06977151489516))-π/2
    2×atan(7.9230126206523)-π/2
    2×1.44524558141057-π/2
    2.89049116282114-1.57079632675     		φ = 1.31969484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26995601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.058899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31969484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.612945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18183 KachelY 22359 -2.26995601 1.31969484 -130.058899 75.612945
    Oben rechts KachelX + 1 18184 KachelY 22359 -2.26990807 1.31969484 -130.056152 75.612945
    Unten links KachelX 18183 KachelY + 1 22360 -2.26995601 1.31968292 -130.058899 75.612262
    Unten rechts KachelX + 1 18184 KachelY + 1 22360 -2.26990807 1.31968292 -130.056152 75.612262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31969484-1.31968292) × R
    1.19199999999431e-05 × 6371000     		dl = 75.9423199996374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31969484-1.31968292) × R
    1.19199999999431e-05 × 6371000     		dr = 75.9423199996374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26995601--2.26990807) × cos(1.31969484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248471053192362 × 6371000     		do = 75.8894552898069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26995601--2.26990807) × cos(1.31968292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248482599355426 × 6371000     		du = 75.8929817852046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31969484)-sin(1.31968292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248471053192362-0.248482599355426)×R²
    abs(-2.26990807--2.26995601)×1.15461630632585e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15461630632585e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15461630632585e-05×40589641000000     		ar = 5763.35520326566m²