Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18182 / 52421
↖ ↑ ↗
← S 72.720063°
W 80.123291°		 ← 181.45 m → S 72.720063°
W 80.117798°		 →
↑
181.45 m
↓
↑
181.45 m
↓
S 72.721695°
W 80.123291°		 ← 181.43 m →
32 921 m²		 S 72.721695°
W 80.117798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277442932128906 y=0.799888610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277442932128906 × 216)
    floor (0.277442932128906 × 65536)
    floor (18182.5)     		tx = 18182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799888610839844 × 216)
    floor (0.799888610839844 × 65536)
    floor (52421.5)     		ty = 52421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18182 / 52421 ti = "16/18182/52421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18182/52421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18182 ÷ 216
    18182 ÷ 65536     		x = 0.277435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52421 ÷ 216
    52421 ÷ 65536     		y = 0.799880981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.44512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39841524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799880981445312 × 2 - 1) × π
    -0.599761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88420777646593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39841524} λ = -1.39841524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88420777646593))-π/2
    2×atan(0.151949389641386)-π/2
    2×0.150795893786665-π/2
    0.301591787573331-1.57079632675     		φ = -1.26920454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39841524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.123291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26920454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.720063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18182 KachelY 52421 -1.39841524 -1.26920454 -80.123291 -72.720063
    Oben rechts KachelX + 1 18183 KachelY 52421 -1.39831936 -1.26920454 -80.117798 -72.720063
    Unten links KachelX 18182 KachelY + 1 52422 -1.39841524 -1.26923302 -80.123291 -72.721695
    Unten rechts KachelX + 1 18183 KachelY + 1 52422 -1.39831936 -1.26923302 -80.117798 -72.721695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26920454--1.26923302) × R
    2.84799999998864e-05 × 6371000     		dl = 181.446079999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26920454--1.26923302) × R
    2.84799999998864e-05 × 6371000     		dr = 181.446079999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39841524--1.39831936) × cos(-1.26920454) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.297040523634944 × 6371000     		do = 181.447643482682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39841524--1.39831936) × cos(-1.26923302) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.297013328962874 × 6371000     		du = 181.431031577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26920454)-sin(-1.26923302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297040523634944-0.297013328962874)×R²
    abs(-1.39831936--1.39841524)×2.71946720699079e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.71946720699079e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.71946720699079e-05×40589641000000     		ar = 32921.4565547702m²