Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18182 / 51404
↖ ↑ ↗
← S 70.981190°
W 80.123291°		 ← 199.06 m → S 70.981190°
W 80.117798°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 70.982980°
W 80.123291°		 ← 199.05 m →
39 630 m²		 S 70.982980°
W 80.117798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277442932128906 y=0.784370422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277442932128906 × 216)
    floor (0.277442932128906 × 65536)
    floor (18182.5)     		tx = 18182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784370422363281 × 216)
    floor (0.784370422363281 × 65536)
    floor (51404.5)     		ty = 51404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18182 / 51404 ti = "16/18182/51404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18182/51404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18182 ÷ 216
    18182 ÷ 65536     		x = 0.277435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51404 ÷ 216
    51404 ÷ 65536     		y = 0.78436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.44512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39841524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.5687255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78670412263873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39841524} λ = -1.39841524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78670412263873))-π/2
    2×atan(0.167511357735664)-π/2
    2×0.165970426249647-π/2
    0.331940852499294-1.57079632675     		φ = -1.23885547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39841524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.123291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23885547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.981190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18182 KachelY 51404 -1.39841524 -1.23885547 -80.123291 -70.981190
    Oben rechts KachelX + 1 18183 KachelY 51404 -1.39831936 -1.23885547 -80.117798 -70.981190
    Unten links KachelX 18182 KachelY + 1 51405 -1.39841524 -1.23888672 -80.123291 -70.982980
    Unten rechts KachelX + 1 18183 KachelY + 1 51405 -1.39831936 -1.23888672 -80.117798 -70.982980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23885547--1.23888672) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23885547--1.23888672) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39841524--1.39831936) × cos(-1.23885547) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.325878549630086 × 6371000     		do = 199.063394342122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39841524--1.39831936) × cos(-1.23888672) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.32584900535719 × 6371000     		du = 199.045347179298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23885547)-sin(-1.23888672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325878549630086-0.32584900535719)×R²
    abs(-1.39831936--1.39841524)×2.95442728959761e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.95442728959761e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.95442728959761e-05×40589641000000     		ar = 39630.4811321536m²