Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18181 / 22277
↖ ↑ ↗
← N 75.668799°
W130.064392°		 ← 75.60 m → N 75.668799°
W130.061645°		 →
↑
75.62 m
↓
↑
75.62 m
↓
N 75.668119°
W130.064392°		 ← 75.60 m →
5 717 m²		 N 75.668119°
W130.061645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138713836669922 y=0.169963836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138713836669922 × 217)
    floor (0.138713836669922 × 131072)
    floor (18181.5)     		tx = 18181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169963836669922 × 217)
    floor (0.169963836669922 × 131072)
    floor (22277.5)     		ty = 22277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18181 / 22277 ti = "17/18181/22277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18181/22277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18181 ÷ 217
    18181 ÷ 131072     		x = 0.138710021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22277 ÷ 217
    22277 ÷ 131072     		y = 0.169960021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138710021972656 × 2 - 1) × π
    -0.722579956054688 × 3.1415926535     		Λ = -2.27005188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169960021972656 × 2 - 1) × π
    0.660079956054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.07370234066401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27005188} λ = -2.27005188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07370234066401))-π/2
    2×atan(7.95421789389413)-π/2
    2×1.44573300102334-π/2
    2.89146600204669-1.57079632675     		φ = 1.32066968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27005188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.064392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32066968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.668799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18181 KachelY 22277 -2.27005188 1.32066968 -130.064392 75.668799
    Oben rechts KachelX + 1 18182 KachelY 22277 -2.27000394 1.32066968 -130.061645 75.668799
    Unten links KachelX 18181 KachelY + 1 22278 -2.27005188 1.32065781 -130.064392 75.668119
    Unten rechts KachelX + 1 18182 KachelY + 1 22278 -2.27000394 1.32065781 -130.061645 75.668119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32066968-1.32065781) × R
    1.18700000000249e-05 × 6371000     		dl = 75.6237700001587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32066968-1.32065781) × R
    1.18700000000249e-05 × 6371000     		dr = 75.6237700001587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27005188--2.27000394) × cos(1.32066968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.247526666922833 × 6371000     		do = 75.6010154145903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27005188--2.27000394) × cos(1.32065781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.247538167523827 × 6371000     		du = 75.6045279941592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32066968)-sin(1.32065781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247526666922833-0.247538167523827)×R²
    abs(-2.27000394--2.27005188)×1.15006009936136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15006009936136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15006009936136e-05×40589641000000     		ar = 5717.36661878888m²