Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18180 / 22279
↖ ↑ ↗
← N 75.667439°
W130.067139°		 ← 75.61 m → N 75.667439°
W130.064392°		 →
↑
75.56 m
↓
↑
75.56 m
↓
N 75.666759°
W130.067139°		 ← 75.61 m →
5 713 m²		 N 75.666759°
W130.064392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138706207275391 y=0.169979095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138706207275391 × 217)
    floor (0.138706207275391 × 131072)
    floor (18180.5)     		tx = 18180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169979095458984 × 217)
    floor (0.169979095458984 × 131072)
    floor (22279.5)     		ty = 22279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18180 / 22279 ti = "17/18180/22279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18180/22279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18180 ÷ 217
    18180 ÷ 131072     		x = 0.138702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22279 ÷ 217
    22279 ÷ 131072     		y = 0.169975280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138702392578125 × 2 - 1) × π
    -0.72259521484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27009982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169975280761719 × 2 - 1) × π
    0.660049438476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.07360646686477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27009982} λ = -2.27009982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07360646686477))-π/2
    2×atan(7.95345532936023)-π/2
    2×1.44572113481102-π/2
    2.89144226962204-1.57079632675     		φ = 1.32064594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27009982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.067139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32064594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.667439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18180 KachelY 22279 -2.27009982 1.32064594 -130.067139 75.667439
    Oben rechts KachelX + 1 18181 KachelY 22279 -2.27005188 1.32064594 -130.064392 75.667439
    Unten links KachelX 18180 KachelY + 1 22280 -2.27009982 1.32063408 -130.067139 75.666759
    Unten rechts KachelX + 1 18181 KachelY + 1 22280 -2.27005188 1.32063408 -130.064392 75.666759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32064594-1.32063408) × R
    1.18599999998636e-05 × 6371000     		dl = 75.5600599991313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32064594-1.32063408) × R
    1.18599999998636e-05 × 6371000     		dr = 75.5600599991313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27009982--2.27005188) × cos(1.32064594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.247549668089943 × 6371000     		do = 75.6080405630757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27009982--2.27005188) × cos(1.32063408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.247561158932458 × 6371000     		du = 75.6115501621539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32064594)-sin(1.32063408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247549668089943-0.247561158932458)×R²
    abs(-2.27005188--2.27009982)×1.149084251445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.149084251445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.149084251445e-05×40589641000000     		ar = 5713.08067419332m²