Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1818 / 1333
↖ ↑ ↗
← N 76.299954°
W100.107422°		 ← 1 157.31 m → N 76.299954°
W100.063477°		 →
↑
1 157.74 m
↓
↑
1 157.74 m
↓
N 76.289542°
W100.107422°		 ← 1 158.17 m →
1 340 363 m²		 N 76.289542°
W100.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22198486328125 y=0.16278076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22198486328125 × 213)
    floor (0.22198486328125 × 8192)
    floor (1818.5)     		tx = 1818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16278076171875 × 213)
    floor (0.16278076171875 × 8192)
    floor (1333.5)     		ty = 1333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1818 / 1333 ti = "13/1818/1333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1818/1333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1818 ÷ 213
    1818 ÷ 8192     		x = 0.221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1333 ÷ 213
    1333 ÷ 8192     		y = 0.1627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.55615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74720412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1627197265625 × 2 - 1) × π
    0.674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11919445840344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74720412} λ = -1.74720412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11919445840344))-π/2
    2×atan(8.32442911219523)-π/2
    2×1.45124086687869-π/2
    2.90248173375737-1.57079632675     		φ = 1.33168541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74720412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33168541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.299954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1818 KachelY 1333 -1.74720412 1.33168541 -100.107422 76.299954
    Oben rechts KachelX + 1 1819 KachelY 1333 -1.74643713 1.33168541 -100.063477 76.299954
    Unten links KachelX 1818 KachelY + 1 1334 -1.74720412 1.33150369 -100.107422 76.289542
    Unten rechts KachelX + 1 1819 KachelY + 1 1334 -1.74643713 1.33150369 -100.063477 76.289542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33168541-1.33150369) × R
    0.000181720000000052 × 6371000     		dl = 1157.73812000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33168541-1.33150369) × R
    0.000181720000000052 × 6371000     		dr = 1157.73812000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74720412--1.74643713) × cos(1.33168541) × R
    0.000766990000000023 × 0.236838932312723 × 6371000     		do = 1157.31185355692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74720412--1.74643713) × cos(1.33150369) × R
    0.000766990000000023 × 0.237015478272542 × 6371000     		du = 1158.17454420495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33168541)-sin(1.33150369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236838932312723-0.237015478272542)×R²
    abs(-1.74643713--1.74720412)×0.000176545959818308×R²
    0.000766990000000023×0.000176545959818308×6371000²
    0.000766990000000023×0.000176545959818308×40589641000000     		ar = 1340363.43820353m²