Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18179 / 6400
↖ ↑ ↗
← N 83.277705°
W130.069886°		 ← 35.75 m → N 83.277705°
W130.067139°		 →
↑
35.81 m
↓
↑
35.81 m
↓
N 83.277383°
W130.069886°		 ← 35.75 m →
1 280 m²		 N 83.277383°
W130.067139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138698577880859 y=0.0488319396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138698577880859 × 217)
    floor (0.138698577880859 × 131072)
    floor (18179.5)     		tx = 18179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0488319396972656 × 217)
    floor (0.0488319396972656 × 131072)
    floor (6400.5)     		ty = 6400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18179 / 6400 ti = "17/18179/6400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18179/6400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18179 ÷ 217
    18179 ÷ 131072     		x = 0.138694763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6400 ÷ 217
    6400 ÷ 131072     		y = 0.048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138694763183594 × 2 - 1) × π
    -0.722610473632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.27014776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.048828125 × 2 - 1) × π
    0.90234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.83479649593164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27014776} λ = -2.27014776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83479649593164))-π/2
    2×atan(17.026934897273)-π/2
    2×1.5121332366157-π/2
    3.0242664732314-1.57079632675     		φ = 1.45347015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27014776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.069886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45347015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.277705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18179 KachelY 6400 -2.27014776 1.45347015 -130.069886 83.277705
    Oben rechts KachelX + 1 18180 KachelY 6400 -2.27009982 1.45347015 -130.067139 83.277705
    Unten links KachelX 18179 KachelY + 1 6401 -2.27014776 1.45346453 -130.069886 83.277383
    Unten rechts KachelX + 1 18180 KachelY + 1 6401 -2.27009982 1.45346453 -130.067139 83.277383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45347015-1.45346453) × R
    5.62000000003948e-06 × 6371000     		dl = 35.8050200002515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45347015-1.45346453) × R
    5.62000000003948e-06 × 6371000     		dr = 35.8050200002515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27014776--2.27009982) × cos(1.45347015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.117057187752427 × 6371000     		do = 35.7522781915804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27014776--2.27009982) × cos(1.45346453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.117062769114066 × 6371000     		du = 35.7539828830893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45347015)-sin(1.45346453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117057187752427-0.117062769114066)×R²
    abs(-2.27009982--2.27014776)×5.58136163937573e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.58136163937573e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.58136163937573e-06×40589641000000     		ar = 1280.14155377212m²